什么是符号差？
符号差是二次型的一个重要性质，它是指二次型的正负项个数之差。具体来说，设二次型为：
$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$
则二次型的符号差为：
$$r(Q)=\text{正项个数}-\text{负项个数}$$
符号差可以用来判断二次型的正定、负定、半正定、半负定和不定性质。
符号差的例题
考虑二次型：
$$Q(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2-2x_2^2-5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3+2x_2x_3$$
我们可以通过计算符号差来判断它的定性质。
首先，计算正项和负项：
$$\begin{aligned}\text{正项：}&3x_1^2+4x_1x_2-4x_1x_3\\&=3(x_1+2x_2-2x_3)^2-8x_2^2-5x_3^2\end{aligned}$$
因此，正项个数为2。
同理，计算负项：
$$\begin{aligned}\text{负项：}&2x_2^2-5x_3^2+2x_2x_3\\&=2(x_2-\frac{5}{4}x_3)^2-\frac{7}{8}x_3^2\end{aligned}$$
因此，负项个数为2。
因此，符号差为0，即二次型不定。
符号差的应用
符号差可以用来判断二次型的定性质，具体如下：
- 当符号差为0时，二次型不定。
- 当符号差为正数时，二次型正定。
- 当符号差为负数时，二次型负定。
- 当符号差为偶数时，二次型半正定。
- 当符号差为奇数时，二次型半负定。
因此，符号差是判断二次型定性质的一个重要工具。
总结
符号差是二次型的一个重要性质，它可以用来判断二次型的定性质。通过计算正项和负项个数之差，可以得到符号差。当符号差为0时，二次型不定；当符号差为正数时，二次型正定；当符号差为负数时，二次型负定；当符号差为偶数时，二次型半正定；当符号差为奇数时，二次型半负定。