为什么I-AB可逆的秘密，藏在“AB有没有特征值1”里？

理I-AB可逆的核心，不是硬算行列式或凑逆矩阵，而是抓住矩阵可逆的本质——零特征值，转化为判断AB是否存在特征值1：只要AB没有特征值1，I-AB就可逆。这个视角能避开复杂计算，直击问题本质。

决这个问题时，最初的难处往往在于方法选择的误区。比如直接展开行列式|I-AB|，当矩阵阶数超过2时，行列式的项数呈阶乘增长，根本法手动成；或者试图构造逆矩阵，比如假设(I-AB)⁻¹=I+AB+A²B²+…，但这个级数仅在AB的谱半径小于1时收敛，局限性极大，法覆盖所有情况。这些方法要么繁琐要么不通用，让人陷入“算不下去”或“说不清楚”的困境。

真正的关键在于矩阵可逆的等价条件：矩阵可逆当且仅当它没有零特征值。对于I-AB而言，它有零特征值等价于存在非零向量x，使得(I-AB)x=0，即ABx=x。这意味着x是AB对应特征值1的特征向量——换句话说，I-AB有零特征值的充要条件是AB有特征值1。反过来，如果AB没有特征值1，I-AB就不会有零特征值，自然可逆。

举个简单例子：若A、B都是2阶矩阵，AB的特征值为2和3均不等于1，则I-AB的特征值是1-2=-1和1-3=-2，都不为零，可逆；若AB的特征值包含1，则I-AB必有零特征值，不可逆。这个逻辑链把抽象的可逆性问题，转化为对AB特征值的判断，既简洁又通用。

理I-AB可逆不必纠结于具体元素的计算，而是透过“特征值是否为1”这个窗口，看穿可逆性的本质。这种从矩阵核心属性特征值出发的视角，让复杂问题变得直观易懂，也避免了不必要的繁琐步骤。