数学中符号“sup”是“上确界”的缩写，核心含义是描述一个数集或函数值集合的“最小上界”。要理它，得先明确“上界”的概念：若一个数集S中的所有元素都不超过某个实数M，那么M就称为S的一个上界。例如集合{2,4,6,8}，上界可以是8、9、10等，但其中最小的那个上界就是8——这时候我们说，这个集合的上确界sup{2,4,6,8}=8。
不过，上确界的价值更突出地表现在“最大值”的集合中。比如开区间(1,3)，它的元素是所有大于1且小于3的实数，这些元素永远到不了3，但任何小于3的数都不可能是它的上界比如2.9，集合中存在元素3-ε，ε是微小正数，会比2.9大。因此，(1,3)的上确界就是3，尽管3并不属于这个开区间。再比如数列{1 - 1/n | n∈N*}，它的元素依次是0、0.5、2/3、3/4……越来越接近1但始终小于1，所有上界中最小的就是1，所以这个数列的上确界sup{1 - 1/n}=1。
除了数集，“sup”也可用于函数的上确界。若函数f(x)在定义域D上有定义，其所有函数值构成的集合记为{f(x)|x∈D}，那么该集合的上确界就是函数f(x)在D上的上确界。例如f(x)=sinx在定义域R上，函数值都不超过1，且存在x使得sinx限接近1，因此sup_{x∈R} sinx=1；若f(x)=x在(0,2)上，函数值小于2且限接近2，故sup_{x∈(0,2)} f(x)=2。
简单来说，“sup”本质是“最小上界”，它既适用于有最大值的集合此时上确界等于最大值，也能处理最大值但有上界的集合，是分析学中刻画集合“顶端边界”的关键符号。