1. 两个集合的并集基数公式
对于任意两个有限集合A、B，card(A∪B) = card(A) + card(B) - card(A∩B)。 应用场景：已知两个集合的基数及交集基数，求并集基数即“至少属于一个集合”的元素总数。 实例：某班50名学生，参加数学兴趣小组28人，参加物理兴趣小组23人，两科都参加15人。求至少参加一科的人数： 代入公式得：card(A∪B) = 28 + 23 - 15 = 36人。2. 三个集合的并集基数公式
对于三个有限集合A、B、C，card(A∪B∪C) = card(A) + card(B) + card(C) - card(A∩B) - card(A∩C) - card(B∩C) + card(A∩B∩C)。 应用场景：涉及三个集合的重叠问题，需计入“多去少补”原则先累加各集合基数，减去两两交集基数，再加上三者交集基数。 实例：某班学生参加语文、数学、英语竞赛，语文30人、数学25人、英语20人；语文和数学10人、语文和英语8人、数学和英语5人；三科都参加3人。求参赛总人数： 代入公式得：30 + 25 + 20 - 10 - 8 - 5 + 3 = 55人。 二、德摩根公式：集合补集与逻辑否定的转换法则 德摩根公式揭示了集合补集运算与交并运算的对偶关系，也适用于逻辑命题的否定转换，分为集合形式与逻辑形式。1. 集合运算形式
对于全集U的子集A、B，(A∪B)ⁿ = Aⁿ∩Bⁿ并集的补集等于补集的交集；(A∩B)ⁿ = Aⁿ∪Bⁿ交集的补集等于补集的并集。 应用场景：将“不属于A或不属于B”的补集转换为“属于A且属于B”，或反之，简化补集计算。 实例：已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={2,3}，求(A∪B)ⁿ： 先算A∪B={1,2,3}，则(A∪B)ⁿ={4,5}； 用德摩根公式验证：Aⁿ={3,4,5}，Bⁿ={1,4,5}，Aⁿ∩Bⁿ={4,5}，结果一致。2. 逻辑命题形式
对于命题p、q，¬(p∨q) = ¬p∧¬q“p或q”的否定是“非p且非q”；¬(p∧q) = ¬p∨¬q“p且q”的否定是“非p或非q”。 应用场景：否定复合命题时，将“或”与“且”互换，并否定每个支命题。 实例：否定命题“今天下雨或刮风”，根据公式得“今天不下雨且不刮风”；否定“小明既会唱歌又会跳舞”，得“小明不会唱歌或不会跳舞”。通过上述方法，card公式可快速决集合元素计数问题，德摩根公式则实现补集与逻辑否定的高效转换，两者结合能显著提升集合与逻辑运算的准确性和效率。