一、利用两角和的余弦公式推导
三角函数中，两角和的余弦公式为：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。由于75°可以表示为45°与30°的和，即75°=45°+30°，因此我们可以令α=45°，β=30°，代入公式计算cos75°的值。二、代入特殊角的三角函数值
45°和30°是常见的特殊角，其三角函数值如下： cos45°=√2/2，sin45°=√2/2；cos30°=√3/2，sin30°=1/2将这些值代入两角和的余弦公式： cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°
三、具体计算过程
代入数值后可得： cos75°=(√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2)先计算乘法部分： (√2/2)(√3/2)=√6/4，(√2/2)(1/2)=√2/4
再进行减法运算： cos75°=√6/4 - √2/4 = (√6 - √2)/4
四、验证结果
通过计算器计算cos75°的近似值，可得cos75°≈0.2588。而(√6 - √2)/4的近似值为(2.449 - 1.414)/4≈1.035/4≈0.25875，与计算器结果基本一致，验证了推导的正确性。通过两角和的余弦公式，将75°分为45°与30°的和，代入特殊角的三角函数值计算后，可得cos75°的值为(√6 - √2)/4。