一、基本法：利用三角恒等变换
首先，通过分子分母同乘 cosx 进行变形： ∫1/cosx dx = ∫cosx/cos²x dx 由于 cos²x = 1 - sin²x，代入得： ∫cosx/(1 - sin²x) dx 令 u = sinx，则 du = cosx dx，积分转化为： ∫1/(1 - u²) du 利用分式分 1/(1 - u²) = 1/2 [1/(1 + u) + 1/(1 - u)]，积分结果为： 1/2 ln|(1 + u)/(1 - u)| + C 将 u = sinx 代回，化简后得到： ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)|^(1/2) + C = ln|secx + tanx| + C二、另一种表达形式：含tan(x/2)的结果
通过万能代换 t = tan(x/2)，则 sinx = 2t/(1 + t²)，cosx = (1 - t²)/(1 + t²)，dx = 2dt/(1 + t²)。代入积分得： ∫1/cosx dx = ∫(1 + t²)/(1 - t²) · 2dt/(1 + t²) = ∫2/(1 - t²) dt 积分后可得： ln|(1 + t)/(1 - t)| + C = ln|tan(π/4 + x/2)| + C 此结果与 ln|secx + tanx| + C 等价，可通过三角恒等式相互转换。三、导数验证
对结果 ln|secx + tanx| 求导： d/dx [ln|secx + tanx|] = (secx tanx + sec²x)/(secx + tanx) = secx 即 d/dx [ln|secx + tanx|] = 1/cosx，验证了积分结果的正确性。cosx分之一的积分结果为 ln|secx + tanx| + CC为积分常数，其等价形式包括 ln|tan(π/4 + x/2)| + C 或 1/2 ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C。这些表达式在不同场景下可灵活选用，但本质上均表示同一原函数族。