函数xlnx的原函数是什么？

求函数( y = xln x )的原函数 在微积分中，求一个函数的原函数，本质上是寻找其不定积分。对于函数( y = xln x )，由于它是由多项式函数( x )与对数函数( ln x )相乘构成的乘积形式，直接积分难以实现，因此需要采用分部积分法来求。

分部积分法的核心原理

分部积分法基于导数乘法法则的逆运算，其公式为： [ int u,text{d}v = uv - int v,text{d}u ] 其中( u )和( v )是关于( x )的可微函数。选择合适的( u )和( text{d}v )是关键，通常遵循“反对幂指三”的优先级原则反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，这里( ln x )对数函数优先级高于( x )幂函数，因此设： ( u = ln x )，( text{d}v = x,text{d}x )

具体计算步骤

1. 确定( u )和( text{d}v )的导数与积分： 由( u = ln x )，得( text{d}u = frac{1}{x},text{d}x )； 由( text{d}v = x,text{d}x )，积分得( v = int x,text{d}x = frac{1}{2}x^2 )。

2. 代入分部积分公式： [ int xln x,text{d}x = uv - int v,text{d}u = left( ln x right) cdot left( frac{1}{2}x^2 right) - int left( frac{1}{2}x^2 right) cdot left( frac{1}{x},text{d}x right) ]

3. 化简并计算剩余积分： 上式右侧第二项可化简为： [ int frac{1}{2}x^2 cdot frac{1}{x},text{d}x = frac{1}{2}int x,text{d}x ] 而( int x,text{d}x = frac{1}{2}x^2 + C )，因此： [ frac{1}{2}int x,text{d}x = frac{1}{2} cdot left( frac{1}{2}x^2 right) + C = frac{1}{4}x^2 + C ]

4. 整合结果： 将上述结果代回原式，得： [ int xln x,text{d}x = frac{1}{2}x^2ln x - frac{1}{4}x^2 + C ]

最终结论

函数( y = xln x )的原函数为： [ frac{1}{2}x^2ln x - frac{1}{4}x^2 + C ] 其中( C )为积分常数，表示原函数的一族函数。通过分部积分法，我们成功将复杂的乘积形式积分转化为简单的幂函数积分，从而得到了最终结果。