增函数与减函数加减后是什么函数？

两个增函数、减函数的和与差：性质与证明

一、两个增函数的和与差

增函数的核心特征是：当自变量增大时，函数值也随之增大。即对定义域内任意 ( x_1 < x_2 )，都有 ( f(x_1) < f(x_2) )。我们从“相加”和“相减”两个角度分析。

1.1 两个增函数相加：结果是增函数

结论：两个增函数的和一定是增函数。 证明步骤： 1. 设 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 是定义域内的增函数，令 ( h(x) = f(x) + g(x) )。 2. 任取定义域内的 ( x_1 < x_2 )。 3. 因为 ( f(x) ) 是增函数，所以 ( f(x_1) < f(x_2) )； 因为 ( g(x) ) 是增函数，所以 ( g(x_1) < g(x_2) )。 4. 将两式相加：( f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2) )，即 ( h(x_1) < h(x_2) )。 5. 因此，( h(x) = f(x) + g(x) ) 是增函数。

1.2 两个增函数相减：结果不确定

结论：两个增函数相减的结果法确定可能是增函数、减函数或常函数。 举例说明：

情况1：结果为常函数 设 ( f(x) = x )，( g(x) = x )均为增函数，则 ( f(x) - g(x) = 0 )常函数。

情况2：结果为增函数 设 ( f(x) = 2x )，( g(x) = x )均为增函数，则 ( f(x) - g(x) = x )增函数。

情况3：结果为减函数 设 ( f(x) = x )，( g(x) = 2x )均为增函数，则 ( f(x) - g(x) = -x )减函数。

二、两个减函数的和与差

减函数的核心特征是：当自变量增大时，函数值随之减小。即对定义域内任意 ( x_1 < x_2 )，都有 ( f(x_1) > f(x_2) )。同样从“相加”和“相减”分析。

2.1 两个减函数相加：结果是减函数

结论：两个减函数的和一定是减函数。 证明步骤： 1. 设 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 是定义域内的减函数，令 ( h(x) = f(x) + g(x) )。 2. 任取定义域内的 ( x_1 < x_2 )。 3. 因为 ( f(x) ) 是减函数，所以 ( f(x_1) > f(x_2) )； 因为 ( g(x) ) 是减函数，所以 ( g(x_1) > g(x_2) )。 4. 将两式相加：( f(x_1) + g(x_1) > f(x_2) + g(x_2) )，即 ( h(x_1) > h(x_2) )。 5. 因此，( h(x) = f(x) + g(x) ) 是减函数。

2.2 两个减函数相减：结果不确定

结论：两个减函数相减的结果法确定可能是增函数、减函数或常函数。 举例说明：

情况1：结果为常函数 设 ( f(x) = -x )，( g(x) = -x )均为减函数，则 ( f(x) - g(x) = 0 )常函数。

情况2：结果为减函数 设 ( f(x) = -2x )，( g(x) = -x )均为减函数，则 ( f(x) - g(x) = -x )减函数。

情况3：结果为增函数 设 ( f(x) = -x )，( g(x) = -2x )均为减函数，则 ( f(x) - g(x) = x )增函数。

三、

通过以上分析，我们可以得出以下结论： 1. 两个增函数相加：结果是增函数确定性结论； 2. 两个增函数相减：结果不确定需具体函数分析； 3. 两个减函数相加：结果是减函数确定性结论； 4. 两个减函数相减：结果不确定需具体函数分析。

核心规律：函数“相加”时，增减性不变；“相减”时，增减性抵消，结果依赖于具体函数的变化率。理这一点，能帮我们快速判断复杂函数的增减性基础特征。