平均值定理是微分学中的基础定理，核心形式为拉格朗日中值定理，用于揭示函数变化率的内在联系。其严格数学表述为：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$\\xi\\in(a,b)$，使得$f\'(\\xi)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
这一定理的成立依赖两个前提条件：闭区间的连续性确保函数图像在$[a,b]$上没有断裂，开区间的可导性则保证函数在区间内部光滑，不存在法求导的尖点或垂直切线。两者共同构成定理的逻辑基础，缺一不可。
等式$\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$的几何意义是连接点$(a,f(a))$与$(b,f(b))$的直线割线的斜率，代表函数在$[a,b]$上的整体平均变化率；而$f\'(\\xi)$是函数在点$\\xi$处切线的斜率，对应局部瞬时变化率。定理因此阐明：函数在区间上的平均变化率，必然能被区间内某点的瞬时变化率“捕捉”，即该点的切线与割线平行。
以具体函数为例：$f(x)=x^2$在区间$[0,2]$上连续可导，平均变化率为$\\frac{2^2 - 0^2}{2-0}=2$。其导数$f\'(x)=2x$，令$2x=2$得$x=1$，而$1\\in(0,2)$，故$\\xi=1$满足定理——点$(1,1)$处的切线斜率恰为$2$，与割线斜率全一致。
这一命题的核心价值在于连接函数的宏观趋势与微观特征：通过平均变化率与瞬时变化率的等价关系，为从整体性质推导局部性质或反之提供了数学桥梁，是微分学中沟通“整体”与“局部”的关键工具。