怎样判断一个函数收敛和发散？

判断函数的收敛与发散，需结合具体研究对象如函数极限、反常积分、幂级数等，采用对应的分析方法。以下从常见类型入手，梳理核心判断思路。

一、函数极限的收敛与发散判断

函数在某点或穷远处的极限收敛，指极限值存在且为有限数；反之则发散。核心方法有三： 定义法：对任意ε>0，存在δ>0或X>0，当0<|x-a|<δ或|x|>X时，|f(x)-L|<ε，则f(x)收敛于L。例如f(x)=(x²-1)/(x-1)在x→1时，化简后为x+1，极限为2，收敛。 运算法则：若limf(x)与limg(x)均收敛，则和、差、积、商分母极限非零的极限收敛；若一个收敛一个发散，其和发散；两者均发散，结果不确定如f(x)=1/x，g(x)=-1/x，x→∞时和的极限为0收敛，而f(x)=1/x，g(x)=1/x²和发散。 特殊情形：若极限为穷含±∞或不存在如震荡，则发散。例如x→0时，1/x→∞发散；sin(1/x)在x→0时限震荡，极限不存在，发散。

二、反常积分的收敛与发散判断

反常积分分穷限积分积分区间限与瑕积分被积函数在区间内界，判断方法如下： 比较判别法：将被积函数与已知敛散性的函数比较。例如∫₁^∞1/xᵖdx，当p>1时收敛如p=2时，积分得-1/x|₁^∞=1收敛，p≤1时发散如p=1时，lnx|₁^∞→∞发散。 极限审敛法：对穷限积分∫ₐ^∞f(x)dxf(x)非负，若lim(x→∞)xᵖf(x)=AA>0，则p>1时收敛，p≤1时发散；对瑕积分∫ₐᵇf(x)dxx=a为瑕点，f(x)非负，若lim(x→a⁺)(x-a)ᵖf(x)=AA>0，则p<1时收敛，p≥1时发散。例如∫₀¹1/√x dxx=0为瑕点，lim(x→0⁺)x^(1/2)·1/√x=1，p=1/2<1，收敛。 绝对收敛性：若∫|f(x)|dx收敛，则∫f(x)dx收敛绝对收敛；反之，∫f(x)dx收敛但∫|f(x)|dx发散，则为条件收敛。

三、幂级数的收敛与发散判断

幂级数∑aₙxⁿ的收敛性通过“收敛半径”确定： 收敛半径计算：用比值法lim|aₙ₊₁/aₙ|=ρ，则收敛半径R=1/ρρ≠0,∞；ρ=0时R=+∞全数轴收敛，ρ=∞时R=0仅x=0收敛。例如∑xⁿ/n!，lim|(n!)/(n+1)!|=lim1/(n+1)=0，R=+∞，全数轴收敛。 端点收敛性：在x=±R处需单独判断。例如∑xⁿ/nR=1，x=1时得∑1/n调和级数发散，x=-1时得∑(-1)ⁿ/n交错级数，由莱布尼茨判别法收敛，故收敛域为[-1,1)。

综上，判断函数收敛与发散需明确对象：函数极限看定义与运算法则，反常积分用比较或极限审敛法，幂级数先求收敛半径再验端点。核心是根据不同场景选择对应工具，通过有限步骤确定敛散性。