数字组合问题在日常应用中并不少见,比如用特定数字组成重复的多位数,其总数计算需紧扣数位的限制条件。以0、1、2、3、4这5个数字为例,要得到重复数字的3位数总数,核心在于明确百位不能为0的规则,通过分步计数法可清晰推导。
一、百位数字的可选范围3位数的第一位是百位,若百位为0则失去3位数的意义,因此百位只能从1、2、3、4这4个非零数字中选取。百位共有4种不同的选法。
二、十位数字的可选范围
当选定百位数字后,剩余的数字还有5-1=4个包含0,且重复限制,因此十位可从这4个剩余数字中任意选择。十位共有4种不同的选法。
三、个位数字的可选范围
百位和十位各选定一个数字后,剩余的数字还有5-2=3个,个位需从这3个剩余数字中选取。个位共有3种不同的选法。
四、总个数计算
根据分步计数原理,成“组成重复3位数”这一事件需分3个步骤,每一步的方法数相乘即为总个数。因此条件的3位数总数为4×4×3=48个。
若通过“总可能数减去效数”验证,所有重复3位数的总可能数为5×4×3=60,其中百位为0的效数十位4种、个位3种为4×3=12,60-12=48,结果与分步计算一致。
