一、公式定义
在等比数列中，若三个数 (a)、(G)、(b) 成等比数列，则 (G) 称为 (a) 与 (b) 的等比中项。其核心公式为： (G^2 = ab) 即等比中项的平方等于前后两项的乘积。二、公式推导
设等比数列的公比为 (q)，若 (a)、(G)、(b) 成等比数列，则： [ frac{G}{a} = q, quad frac{b}{G} = q ] 两式联立消去 (q)，可得 (G^2 = ab)。此公式适用于任意三个连续或间隔相等的等比数列项。三、公式应用
1. 已知两项求中项 例：若等比数列中 (a_1 = 2)，(a_3 = 8)，求中项 (a_2)。 ：由公式 (a_2^2 = a_1 cdot a_3 = 2 times 8 = 16)，得 (a_2 = pm 4)。2. 判断等比关系 若三个数满足 (G^2 = ab)，则这三个数成等比数列(a)、(b)、(G) 均不为 0。
四、拓展：间隔项的中项公式
对于等比数列中任意三项 (a_n)、(a_{n+k})、(a_{n+2k})，仍满足中项公式： (a_{n+k}^2 = a_n cdot a_{n+2k}) 例：在等比数列中，若 (a_2 = 3)，(a_6 = 27)，则 (a_4^2 = a_2 cdot a_6 = 3 times 27 = 81)，故 (a_4 = 9)公比为正时取正值。五、与等差中项的对比
等比中项与等差中项的区别在于：- 等差中项：(A = frac{a+b}{2})算术平均
- 等比中项：(G = pm sqrt{ab})几何平均，符号由数列公比决定 需意：等比中项存在的前提是 (ab > 0)，即 (a) 与 (b) 同号。