1. 复指数函数 ( e^z )
复指数函数 ( e^z )( z = x + iy )，( x,y in mathbb{R} )的定义以幂级数为基础：
[ e^z = sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!} = 1 + z + frac{z^2}{2!} + frac{z^3}{3!} + cdots ]
该级数在整个复平面收敛，且满足 ( e^{z_1 + z_2} = e^{z_1}e^{z_2} )。
2. 三角函数 ( sin z ) 和 ( cos z )
利用欧拉公式 ( e^{iz} = cos z + i sin z ) 和 ( e^{-iz} = cos z - i sin z )，通过联立方程消元推导：
[ sin z = frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, quad cos z = frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} ]
将 ( e^{iz} ) 和 ( e^{-iz} ) 的幂级数展开代入，可验证其与实三角函数幂级数的一致性。
3. 双曲函数 ( text{sh} z ) 和 ( text{ch} z )
双曲函数通过类比三角函数定义，将 ( e^z ) 与 ( e^{-z} ) 直接组合：
[ text{sh} z = frac{e^z - e^{-z}}{2}, quad text{ch} z = frac{e^z + e^{-z}}{2} ]
其性质与三角函数类似，如 ( text{ch}^2 z - text{sh}^2 z = 1 )，且可通过 ( sin iz = i text{sh} z )、( cos iz = text{ch} z ) 与三角函数建立联系。
4. 复对数函数 ( ln z )
作为 ( e^w = z ) 的反函数，设 ( z = re^{itheta} )( r > 0 )，( theta = arg z )，则 ( w = ln r + i(theta + 2kpi) )( k in mathbb{Z} )。因此：
[ ln z = ln |z| + i (arg z + 2kpi) ]
其多值性源于辐角 ( arg z ) 的周期性，主值取 ( arg z in (-pi, pi] )。
以上推导表明，复指数函数 ( e^z ) 是核心基础，三角函数、双曲函数通过指数函数的线性组合定义，而复对数函数则是指数函数的反函数。这些函数的性质通过幂级数展开和复数运算可自然延伸，形成复变函数体系的重要分支。
3. 双曲函数 ( text{sh} z ) 和 ( text{ch} z )
双曲函数通过类比三角函数定义，将 ( e^z ) 与 ( e^{-z} ) 直接组合：
[ text{sh} z = frac{e^z - e^{-z}}{2}, quad text{ch} z = frac{e^z + e^{-z}}{2} ]
其性质与三角函数类似，如 ( text{ch}^2 z - text{sh}^2 z = 1 )，且可通过 ( sin iz = i text{sh} z )、( cos iz = text{ch} z ) 与三角函数建立联系。
4. 复对数函数 ( ln z )
作为 ( e^w = z ) 的反函数，设 ( z = re^{itheta} )( r > 0 )，( theta = arg z )，则 ( w = ln r + i(theta + 2kpi) )( k in mathbb{Z} )。因此：
[ ln z = ln |z| + i (arg z + 2kpi) ]
其多值性源于辐角 ( arg z ) 的周期性，主值取 ( arg z in (-pi, pi] )。
以上推导表明，复指数函数 ( e^z ) 是核心基础，三角函数、双曲函数通过指数函数的线性组合定义，而复对数函数则是指数函数的反函数。这些函数的性质通过幂级数展开和复数运算可自然延伸，形成复变函数体系的重要分支。
以上推导表明，复指数函数 ( e^z ) 是核心基础，三角函数、双曲函数通过指数函数的线性组合定义，而复对数函数则是指数函数的反函数。这些函数的性质通过幂级数展开和复数运算可自然延伸，形成复变函数体系的重要分支。