一、x→0时的常用等价穷小
以下是自变量x趋近于0时，最常用的等价穷小关系：- sinx ~ x
- tanx ~ x
- arcsinx ~ x
- arctanx ~ x
- 1 - cosx ~ (1/2)x²
- eˣ - 1 ~ x
- ln(1 + x) ~ x
- (1 + x)ᵃ - 1 ~ axa为常数
- tanx ~ x
二、等价穷小的核心性质
等价穷小的应用依赖于其基本性质，需重点掌握：- 传递性：若α ~ β，β ~ γ，则α ~ γ。例如，x→0时，sinx~x，x~tanx，故sinx~tanx。
- 替换规则：在乘除运算中，等价穷小可直接替换；在加减运算中，仅当替换后穷小的阶数不同或结果非零时方可替换。
三、应用示例
通过等价穷小替换，可快速求复杂极限。例如： 例1：求lim(x→0)(sin2x / tan3x)。 ：x→0时，sin2x ~ 2x，tan3x ~ 3x，故原式=lim(x→0)(2x / 3x)=2/3。 例2：求lim(x→0)[(e²ˣ - 1) / (1 - cosx)]。 ：x→0时，e²ˣ - 1 ~ 2x，1 - cosx ~ (1/2)x²，故原式=lim(x→0)[2x / ( (1/2)x² ) ]=lim(x→0)(4/x)=∞。等价穷小是极限运算的“简化器”，熟悉上述关系和性质，能显著提升题效率。实际应用中，需意替换条件，避免因不当替换导致错误。