第六题题过程分析
一、审题关键信息提取
题目核心要素：已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 )，求其在区间 ([0, 3]) 上的极值点及最值。
隐含条件：需通过导数判断函数单调性，进而确定极值点；闭区间端点值需参与最值比较。
易错点标：极值点需满足导数为0且两侧单调性相反，不可直接将导数零点视为极值点。
二、考点分析与公式应用
1.
导数计算：
根据求导公式 ( (x^n)' = nx^{n-1} )，得：
( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 )
2.
极值点判定：
令 ( f'(x) = 0 )，方程 ( 3x^2 - 6x + 2 = 0 )，判别式 ( Delta = 36 - 24 = 12 )，根为：
( x = frac{6 pm sqrt{12}}{6} = 1 pm frac{sqrt{3}}{3} )
化简得 ( x_1 = 1 - frac{sqrt{3}}{3} approx 0.422 )，( x_2 = 1 + frac{sqrt{3}}{3} approx 1.577 )，均在区间 ([0, 3]) 内。
三、单调性分析与极值计算
分区间讨论导数符号：
- 当 ( x in [0, x_1) ) 时，取 ( x = 0 )，( f'(0) = 2 > 0 )，函数单调递增；
- 当 ( x in (x_1, x_2) ) 时，取 ( x = 1 )，( f'(1) = 3 - 6 + 2 = -1 < 0 )，函数单调递减；
- 当 ( x in (x_2, 3] ) 时，取 ( x = 2 )，( f'(2) = 12 - 12 + 2 = 2 > 0 )，函数单调递增。
极值点确认：
- ( x_1 ) 左侧递增、右侧递减，为极大值点；
- ( x_2 ) 左侧递减、右侧递增，为极小值点。
极值计算：
- 极大值：( f(x_1) = (1 - frac{sqrt{3}}{3})^3 - 3(1 - frac{sqrt{3}}{3})^2 + 2(1 - frac{sqrt{3}}{3}) + 1 approx 1.385 )
- 极小值：( f(x_2) = (1 + frac{sqrt{3}}{3})^3 - 3(1 + frac{sqrt{3}}{3})^2 + 2(1 + frac{sqrt{3}}{3}) + 1 approx 0.615 )
四、端点值与最值比较
计算区间端点函数值：
- ( f(0) = 0 - 0 + 0 + 1 = 1 )
- ( f(3) = 27 - 27 + 6 + 1 = 7 )
最值确定：
- 比较极值与端点值：( 0.615 < 1 < 1.385 < 7 )
- 最小值为 ( f(x_2) approx 0.615 )，最大值为 ( f(3) = 7 )
五、结果验证
- 导数零点计算正确，单调性分析导数符号变化规律；
- 极值点两侧单调性相反，满足极值定义；
- 闭区间端点值参与比较，最值结论整。
最终答案：函数在 ([0, 3]) 上的极大值点为 ( x = 1 - frac{sqrt{3}}{3} )，极小值点为 ( x = 1 + frac{sqrt{3}}{3} )；最小值为 ( 1 - frac{2sqrt{3}}{9} )精确值，最大值为7。
