夹逼准则是什么？

清晨的地铁口，队伍被栏杆分成三列，一列的人想快些进站，却被左右两列牢牢夹住——不管的人怎么动，最终都会跟着左右两列的速度前进。数学里的“夹逼准则”，正是这样一种“被左右推着走”的极限思想。

夹逼准则的核心逻辑直白得像日常里的“挤地铁”：假设有三个序列或函数，的那个永远“夹”在另外两个之间。如果左右两个的极限是同一个常数，那么的那个，不管看起来多“难搞”，极限也只能是这个数。更严谨地说，对于序列来说，若存在某个自然数N，当n>N时，总有aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ，且limₙ→∞aₙ = limₙ→∞cₙ = L，那么limₙ→∞bₙ = L；对于函数来说，若在某个点x₀的去心邻域内，f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且limₓ→x₀f(x) = limₓ→x₀h(x) = L，那么limₓ→x₀g(x) = L。

比如计算序列bₙ = n/(n²+1) + n/(n²+2) + … + n/(n²+n)的极限。每一项n/(n²+k)k从1到n都满足“左边小、右边大”：n/(n²+n) ≤ n/(n²+k) ≤ n/(n²+1)。左边n项加起来是n×n/(n²+n) = n²/(n²+n)，当n趋向穷大时，这个式子等于1/(1+1/n)，极限是1；右边n项加起来是n×n/(n²+1) = n²/(n²+1)，极限也是1。左右两边的极限“合谋”把的bₙ“逼”到了1——这就是夹逼准则的“逼”所在。

再看函数的例子：f(x) = x²sin(1/x)，当x趋近于0时，sin(1/x)像个来回蹦跳的小精灵，值域在-1到1之间波动，没法直接求极限。但夹逼准则能“按住”这个精灵：因为-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，两边乘x²x≠0时x²>0，不等号方向不变，得到-x² ≤ x²sin(1/x) ≤ x²。当x→0时，-x²和x²的极限都是0，的f(x)自然也只能“跟着”趋向0。

夹逼准则的本质，是用“已知”套住“未知”——你不需要拆开那个复杂的表达式，只需要找到两个“好算”的“框”，把它框在里面。就像给一个形状不规则的盒子称重，只要左边放一个100克的砝码，右边放一个100克的砝码，的盒子不管多奇怪，重量肯定也是100克——因为左右两边的重量已经把它“夹”死了。

所以，夹逼准则是什么？它是极限世界里的“三明治定理”也叫“ squeeze theorem”，是用两个趋向于同一值的“边界”，把对象的极限“挤”出来的方法。它不玩花活，只讲逻辑：如果一个量永远在两个“目标一致”的量之间，那么它自己的目标，也只能和它们一样。