定积分计算公式是什么？

定积分的核心计算公式是牛顿-莱布尼茨公式，它建立了定积分与原函数之间的紧密联系，是微积分学中连接微分与积分的重要桥梁。其表达式为：若函数 \\( f(x) \\) 在闭区间 \\([a,b]\\) 上连续，且 \\( F(x) \\) 是 \\( f(x) \\) 的一个原函数即 \\( F\'(x) = f(x) \\)，则定积分 \\( \\int_{a}^{b} f(x)dx \\) 的值等于 \\( F(b) - F(a) \\)，记作 \\( \\int_{a}^{b} f(x)dx = F(x)\\bigg|_{a}^{b} = F(b) - F(a) \\)。

该公式中，各部分有着明确的意义：符号 \\( \\int \\) 是积分号，源于拉丁文“总和”Summa的首母拉长；\\( a \\) 和 \\( b \\) 分别为积分下限与上限，界定了积分区间；\\( f(x) \\) 称为被积函数，是定积分计算的对象；\\( dx \\) 为积分变量，体现了对 \\( x \\) 轴方向的限细分；\\( F(x) \\) 作为 \\( f(x) \\) 的原函数，其本质是 \\( f(x) \\) 的一个反导数，通过它将定积分的计算转化为原函数在区间端点处的函数值之差。

牛顿-莱布尼茨公式的成立依赖于严格的条件：被积函数 \\( f(x) \\) 需在闭区间 \\([a,b]\\) 上连续或可积，即可积函数的条件可放宽至有界且仅有有限个间断点，同时存在对应的原函数 \\( F(x) \\)。这一条件确保了定积分与原函数之间的转化具有数学严谨性，避免因函数性质不满足而导致公式失效。

从本质上看，该公式将复杂的定积分计算问题简化为求原函数的问题。原本通过分割、近似、求和、取极限的黎曼积分定义难以直接计算，而牛顿-莱布尼茨公式通过原函数的“反导数”特性，将定积分的结果转化为原函数在区间端点的函数值差，极大降低了计算难度。例如，对于 \\( \\int_{0}^{1} x^2 dx \\)，因 \\( F(x) = \\frac{1}{3}x^3 \\) 是 \\( f(x) = x^2 \\) 的原函数，故该定积分的值为 \\( \\frac{1}{3} \\times 1^3 - \\frac{1}{3} \\times 0^3 = \\frac{1}{3} \\)。

牛顿-莱布尼茨公式不仅是计算工具，更深刻揭示了微分与积分的互逆关系：微分运算求导与积分运算求原函数互为逆过程，这种关系使得微积分成为统一处理变化量问题的整体系。论是物理中的位移计算速度函数的定积分、几何中的面积体积求被积函数为曲线方程，还是工程中的变力做功计算，都依赖这一公式将实际问题转化为可计算的数学模型。

总之，定积分的计算公式即牛顿-莱布尼茨公式，其核心是通过原函数在积分区间端点的函数值差，实现定积分的高效求，是连接微分学与积分学的基石，也是微积分应用的核心工具。