ln的世界里，只有正数能入场

当我们说起自然对数ln，总绕不开一个最基本的问题：什么样的数能放进它的括号里？答案藏在对数的本质里——只有正数。

对数是指数的逆运算，ln(x)的意思是“找一个实数y，让e的y次方等于x”。而e是约等于2.718的正数，正数的任何实数次方都是正数：e²是e乘e，正数；e⁰是1，正数；e⁻¹是1/e，还是正数。反过来，若x是负数或0，你永远找不到一个实数y，让eʸ等于x——就像你没法用正数的幂得到负数一样。所以ln的定义域只能是(0,+∞)，这是从定义里“长”出来的规则，不是谁强加的限制。

生活里的场景也在印证这点。比如计算细胞分裂的时间，公式里会有ln(N/N₀)，其中N是最终细胞数，N₀是初始数，都是正整数，自然满足正数。要是有人问“ln(-3)是多少”，等同于问“e的多少次方是-3”——这在现实里没有意义，就像问“你能有-3个细胞吗？”一样，逻辑上就不成立。

再看ln的图像：它从x>0的区域出发，沿着x轴正方向缓慢上升，x=0处是“禁区”，曲线限靠近却永远碰不到；x负数的地方，连曲线的影子都没有。这不是画图的人偷懒，而是那些区域根本不存在定义——ln的世界里，负数和0从来都不是“居民”。

遇到复杂的表达式，比如ln(2x-1)或ln(x²-4)，核心还是“括号里的部分必须为正”。ln(2x-1)时，要2x-1>0，得x>1/2；ln(x²-4)时，要x²-4>0，即x>2或x<-2。这些计算不过是在帮我们“筛选”能进入ln世界的数——不管表达式多复杂，最终都要落到“正数”这个核心上。

有人会提复数里的ln(-1)=πi，但那是另一个维度的规则。在实数范围内，ln的定义域永远只有正数，就像鱼只能在水里游，鸟只能在天上飞，这是它的本性。

ln的定义域不是束缚，而是它的“基因”。它只认正数，因为只有正数能回应它的问题：“e的多少次方是你？”负数和0答不上来，所以永远进不了它的世界。这不是什么深奥的定理，只是对数本质的自然流露——就像太阳发光、水流动一样，是最本来的样子。

在ln的世界里，正数是唯一的“入场券”。没有正数，就没有ln；没有ln，正数也少了一种描述增长与变化的方式。它们彼此印证，彼此成就，构成了数学里最朴素的逻辑：对的数，才能走进对的门。