要理arcsinx的定义域，关键在于理清反函数与原函数的关系——反函数的定义域，本质是原函数的值域。我们可以通过三个核心步骤推导：
第一步：明确原函数sinx的基本性质
arcsinx是正弦函数sinx的反函数。要定义反函数，原函数必须满足单调且满射即覆盖所有函数值的条件——因为只有单调函数才能保证“一个x对应一个y，反之一个y也对应唯一x”。 对于sinx来说：- 它的值域是[-1,1]论x取何实数，sinx的值都在-1到1之间波动，不会超出这个范围；
- 它的单调区间是[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]k∈Z，单调递增或[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]k∈Z，单调递减。为了保证反函数的唯一性，数学中规定sinx的“主值区间”为[-π/2, π/2]这是包含原点的最短单调区间，覆盖了所有值域[-1,1]。
第二步：反函数的定义域与原函数的值域一一对应
根据反函数的定义：若函数y=f(x)的反函数为y=f⁻¹(x)，则f⁻¹(x)的定义域是f(x)的值域，f⁻¹(x)的值域是f(x)的定义域或其单调区间。 对于sinx来说，它在主值区间[-π/2, π/2]上的值域是[-1,1]——这意味着，当我们要给sinx定义反函数时，这个反函数即arcsinx的输入值必须是sinx能取到的所有值否则反函数没有意义。第三步：推导arcsinx的定义域
既然sinx的值域是[-1,1]，而arcsinx是sinx的反函数，那么arcsinx的定义域自然就是sinx的值域——[-1,1]。换句话说：只有当x∈[-1,1]时，arcsinx才有意义；若x>1或x<-1，arcsinx就不存在因为没有任何实数θ能让sinθ等于超过1或小于-1的数。
验证与结论
我们可以用具体例子验证：- 当x=1时，arcsin1=π/2因为sinπ/2=1，有意义；
- 当x=-1时，arcsin(-1)=-π/2因为sin(-π/2)=-1，有意义；
- 当x=2时，不存在实数θ使得sinθ=2，因此arcsin2定义。
最终结论：arcsinx的定义域是[-1,1]。
整个过程的核心逻辑链是：反函数定义域=原函数值域→sinx的值域是[-1,1]→arcsinx的定义域是[-1,1]。