在平面直角坐标系中，圆A与y轴相切于原点O。由相切性质可知，圆心A的纵坐标为0，且圆心到y轴的距离等于半径。因原点O在圆上，圆心必在x轴正半轴，设圆心A的坐标为(a,0)，则圆A的半径为a，其标准方程为(x-a)²+y²=a²。
现有直线l平行于x轴，且经过点(2,3)。因平行于x轴的直线斜率为0，故直线l的方程为y=3。将y=3代入圆A的方程，得(x-a)²+9=a²，展开后化简为x²-2ax+9=0。此一元二次方程的判别式Δ=( -2a)²-4×1×9=4a²-36，若直线l与圆A相交，则Δ>0，得a>3。
设直线l与圆A的交点为C(x₁,3)、D(x₂,3)，由韦达定理可知，x₁+x₂=2a，x₁x₂=9。根据弦长公式，CD=|x₁-x₂|=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]，代入数据得CD=√(4a²-36)=2√(a²-9)。若圆心A的坐标为(5,0)即a=5，则CD=2√(25-9)=8，此时交点C、D的横坐标分别为x₁=5+4=9，x₂=5-4=1，故C(9,3)，D(1,3)。
若将直线l改为平行于直线y=2x的直线，且过点(1,0)，则直线l的斜率为2，方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0。圆心A(a,0)到直线l的距离d=|2a-0-2|/√(4+1)=|2a-2|/√5。当直线l与圆A相切时，d等于半径a，即|2a-2|/√5=a，得a=2√5-4负根已舍去，此时圆A的方程为(x-(2√5-4))²+y²=(2√5-4)²。
在平面直角坐标系中，圆与直线的位置关系通过代数方程与几何性质的结合得以展现。从相切于原点的圆，到平行直线的方程构建，再到交点坐标与弦长的计算，每一步推理都依托坐标系中的距离、方程与判别式，形成连贯的逻辑链条。