根号3是一个常见的理数，其近似值约为1.732。这个数值在数学、物理、工程等领域频繁出现，比如勾股定理中直角边为1和√2的三角形斜边长度，或是正三角形的高与边长的比例关系。要得到这个数值，主要通过计算方法逐步逼近。
手工计算时，最直观的是逐步逼近法。先确定根号3的大致范围：因为1²=1，2²=4，所以根号3必然在1和2之间。接着缩小范围，计算1.7²=2.89，1.8²=3.24，可见根号3在1.7和1.8之间。继续细分，1.73²=2.9929，1.74²=3.0276，此时范围缩小到1.73和1.74之间。再算1.732²=2.999824，1.733²=3.003289，由此可知根号3约为1.732，若需更高精度，可继续按此步骤细分小数位数。
另一种系统的方法是二分法。以区间[1,2]为起点，取中点1.5，计算1.5²=2.25，小于3，故根号3在[1.5,2]之间。再取该区间中点1.75，1.75²=3.0625，大于3，新区间为[1.5,1.75]。继续取中点1.625，1.625²=2.6406，小于3，区间变为[1.625,1.75]。重复操作，每次取区间中点并计算平方，根据结果缩小范围，逐步逼近根号3的精确值。这种方法逻辑清晰，适合编程或手动迭代计算。
从几何角度看，根号3也可通过图形构造得出。在一个边长为1的正方形中，其对角线长度为√2；以这条对角线为直角边，再作另一条长度为1的直角边，构成直角三角形，斜边长度即为√( (√2)² + 1² )=√3。通过测量这个斜边的长度，也能直观得到根号3的近似值。
计算器或计算机通常采用更高效的算法，比如泰勒级数展开或牛顿迭代法。牛顿迭代法的原理是通过函数f(x)=x²-3，不断迭代公式xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f\'(xₙ)，即xₙ₊₁ = (xₙ + 3/xₙ)/2。从初始值x₀=2开始，迭代一次得x₁=(2+3/2)/2=1.75，迭代二次得x₂=(1.75+3/1.75)/2≈1.732，三次迭代后即可达到较高精度，这也是计算器快速得出结果的核心原理。
论是手工逼近、二分法、几何构造，还是计算机算法，核心都是通过逻辑推理和数值运算逐步靠近根号3的真实值。这个过程不仅展现了理数的特性——限不循环，也体现了数学中“从近似到精确”的思维方式。