要计算sin18°的值，关键是利用角度间的互余关系和三角恒等式，将问题转化为代数方程求。以下是具体步骤：
第一步：建立角度关联
设\\( \\theta = 18^\\circ \\)，则\\( 3\\theta = 54^\\circ \\)，\\( 2\\theta = 36^\\circ \\)。意到\\( 54^\\circ = 90^\\circ - 36^\\circ \\)，根据正弦余弦互余公式\\( \\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha \\)，可得： \\[ \\sin3\\theta = \\cos2\\theta \\]第二步：展开三角恒等式
利用三倍角公式\\( \\sin3\\alpha = 3\\sin\\alpha - 4\\sin^3\\alpha \\)和二倍角公式\\( \\cos2\\alpha = 1 - 2\\sin^2\\alpha \\)，将上式替换为关于\\( \\sin\\theta \\)的方程： \\[ 3\\sin\\theta - 4\\sin^3\\theta = 1 - 2\\sin^2\\theta \\]第三步：整理为代数方程
将方程移项、整理，得到一个三次方程设\\( x = \\sin\\theta \\)： \\[ 4x^3 - 2x^2 - 3x + 1 = 0 \\]第四步：因式分与求
通过有理根定理尝试因式分试根\\( x=1 \\)时，左边\\( 4-2-3+1=0 \\)，故\\( (x-1) \\)是因子，将三次方程分为： \\[ (x-1)(4x^2 + 2x - 1) = 0 \\]得两个根： 1. \\( x=1 \\)对应\\( \\theta=90^\\circ \\)，不\\( \\theta=18^\\circ \\)，舍去； 2. 二次方程\\( 4x^2 + 2x - 1 = 0 \\)，用求根公式： \\[ x = \\frac{-2 \\pm \\sqrt{2^2 + 4\\times4\\times1}}{2\\times4} = \\frac{-2 \\pm 2\\sqrt{5}}{8} = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{4} \\]
第五步：取正根
由于\\( \\sin18^\\circ \\)是正数，故取正根： \\[ \\sin18^\\circ = \\frac{\\sqrt{5} - 1}{4} \\]验证结果
计算数值：\\( \\sqrt{5} \\approx 2.236 \\)，因此\\( \\frac{2.236 - 1}{4} \\approx 0.3090 \\)，与\\( \\sin18^\\circ \\)的实际值约0.3090全一致。至此，我们通过“角度转化—恒等式展开—方程求”的路径，得到了\\( \\sin18^\\circ \\)的精确值： \\[ \\sin18^\\circ = \\frac{\\sqrt{5} - 1}{4} \\]