tan(x+y)的核心公式为：tan(x+y) = (tanx + tany)/(1 - tanx tany)。这一公式的推导源于三角函数的基本定义与两角和的正弦、余弦公式。我们知道，正切函数tanθ = sinθ/cosθ，因此tan(x+y) = sin(x+y)/cos(x+y)。根据两角和的正弦公式sin(x+y) = sinx cosy + cosx siny与余弦公式cos(x+y) = cosx cosy - sinx siny，将两式相除可得：
tan(x+y) = (sinx cosy + cosx siny)/(cosx cosy - sinx siny)
为简化表达式，分子分母同时除以cosx cosy需满足cosx ≠ 0，cosy ≠ 0，则分子变为(sinx cosy)/(cosx cosy) + (cosx siny)/(cosx cosy) = tanx + tany，分母变为(cosx cosy)/(cosx cosy) - (sinx siny)/(cosx cosy) = 1 - tanx tany。由此，tan(x+y) = (tanx + tany)/(1 - tanx tany)的推导过程得以成。
从几何角度看，tan(x+y)可视为平面直角坐标系中两个角的合成结果。若角x的终边经过点(a,b)，角y的终边经过点(c,d)，则tanx = b/a，tany = d/c，代入公式即可直接计算两角和的正切值，需通过复杂的角度作图。这种代数化的计算方式，极大简化了角的合成问题。
在实际应用中，tan(x+y)公式的价值尤为突出。例如，在三角形时，若已知三角形的两个内角α、β的正切值，求第三个内角γγ = π - α - β的正切值，即可利用tanγ = tan(π - (α+β)) = -tan(α+β) = -(tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ)，快速得到结果。在物理运动分析中，当物体同时参与两个相互夹角为x、y的方向运动时，合运动方向与某一坐标轴的夹角正切值，也可通过tan(x+y)公式计算，为速度、加速度的合成提供便捷工具。
tan(x+y)公式的简洁性与普适性，使其成为三角函数运算中的基础工具。论是理论推导还是实际问题决，准确掌握这一公式及其推导逻辑，都是进一步深入三角函数领域的关键。