一、基本递推公式推导
对于积分 ( I_n = int (sin x)^n , dx )，可通过分部积分法建立递推关系： 令 ( u = (sin x)^{n-1} )，( dv = sin x , dx )，则 ( du = (n-1)(sin x)^{n-2} cos x , dx )，( v = -cos x )。 根据分部积分公式 ( int u , dv = uv - int v , du )，得： [ I_n = -(sin x)^{n-1} cos x + (n-1) int (sin x)^{n-2} cos^2 x , dx ] 利用 ( cos^2 x = 1 - sin^2 x ) 拆分积分： [ I_n = -(sin x)^{n-1} cos x + (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n ] 移项整理后，得到递推公式红色标： [ I_n = -frac{1}{n} (sin x)^{n-1} cos x + frac{n-1}{n} I_{n-2} ]**二、n为奇数时的积分**当n为奇数( n = 2k + 1 ), ( k in mathbb{N} )，可直接通过换元法降幂：
例：( int (sin x)^3 , dx ) [ int (sin x)^3 , dx = int sin x (1 - cos^2 x) , dx = -cos x + frac{1}{3} cos^3 x + C ] 通用步骤浅绿色标： 1. 拆分为 ( (sin x)^{n-1} cdot sin x )，其中 ( n-1 ) 为偶数； 2. 利用 ( sin^2 x = 1 - cos^2 x ) 将偶次幂展开为多项式； 3. 令 ( t = cos x )，则 ( dt = -sin x , dx )，转换为多项式积分。**三、n为偶数时的积分**当n为偶数( n = 2k ), ( k in mathbb{N} )，需反复应用递推公式，最终归结为 ( I_0 = int 1 , dx = x + C ) 或 ( I_1 = -cos x + C )。
例：( int (sin x)^2 , dx ) 直接用降幂公式 ( sin^2 x = frac{1 - cos 2x}{2} )： [ int (sin x)^2 , dx = frac{1}{2} x - frac{1}{4} sin 2x + C ] 通用步骤浅绿色标： 1. 利用 ( sin^2 x = frac{1 - cos 2x}{2} ) 降幂； 2. 展开多项式后逐项积分； 3. 对高阶偶数幂如 ( n geq 4 )，需结合递推公式逐步降阶至 ( I_0 ) 或 ( I_1 )。**四、特殊情况与结论- n=0 **：( int 1 , dx = x + C )
- n=1 ：( int sin x , dx = -cos x + C ) - 一般结论 ：通过递推公式 ( I_n = -frac{1}{n} (sin x)^{n-1} cos x + frac{n-1}{n} I_{n-2} )，可将任意正整数次幂的sinx积分逐步转化为低次幂积分，直至求出结果。该方法同样适用于 ( int (cos x)^n , dx )，仅需调整递推公式中的符号及三角函数名称。