对于 ( f(x) = sin x )，代入定义式可得： ( (sin x)' = lim_{Delta x to 0} frac{sin(x+Delta x) - sin x}{Delta x} )
为简化分子，利用三角函数和角公式展开 ( sin(x+Delta x) )： ( sin(x+Delta x) = sin x cos Delta x + cos x sin Delta x )
代入原式后，分子变为： ( sin x (cos Delta x - 1) + cos x sin Delta x )
因此，导数表达式可拆分为两项极限的和： ( (sin x)' = sin x cdot lim_{Delta x to 0} frac{cos Delta x - 1}{Delta x} + cos x cdot lim_{Delta x to 0} frac{sin Delta x}{Delta x} )
关键极限的应用 上述推导中出现了两个重要的极限，它们的结果直接决定了最终导数：1. ( lim_{Delta x to 0} frac{sin Delta x}{Delta x} = 1 ) 这是微积分中最基础的极限之一，可通过单位圆扇形面积与三角形面积的夹逼定理证明：当 ( Delta x to 0 ) 时，( sin Delta x approx Delta x )，故比值趋近于 1。
2. ( lim_{Delta x to 0} frac{cos Delta x - 1}{Delta x} = 0 ) 利用二倍角公式 ( cos Delta x - 1 = -2 sin^2 frac{Delta x}{2} )，当 ( Delta x to 0 ) 时，( sin frac{Delta x}{2} approx frac{Delta x}{2} )，代入得 ( frac{-2 (frac{Delta x}{2})^2}{Delta x} = -frac{Delta x}{2} to 0 )。
将两个极限结果代入导数表达式： ( (sin x)' = sin x cdot 0 + cos x cdot 1 = cos x )
几何意义的直观理 从几何角度看，( sin x ) 可视为单位圆上点的纵坐标角度为 ( x ) 时，点坐标为 ( (cos x, sin x) )。函数的导数对应图像在该点的切线斜率。在单位圆中，过点 ( (cos x, sin x) ) 的切线与半径垂直半径斜率为 ( frac{sin x}{cos x} )，切线斜率则为 ( -frac{cos x}{sin x} ) 的负倒数？不，更直接的方式是：切线方向向量为 ( (-sin x, cos x) )由圆的参数方程导数可得，因此切线斜率为 ( frac{cos x}{-sin x} )？不，准确地说，参数方程 ( x = cos t )，( y = sin t )，导数 ( frac{dy}{dx} = frac{dy/dt}{dx/dt} = frac{cos t}{-sin t} )，但这里 ( t ) 是角度，而原函数 ( y = sin x ) 中 ( x ) 是自变量，此时的切线斜率即 ( cos x )。
简单讲：当角度为 ( x ) 时，单位圆上点的纵坐标变化率即 ( sin x ) 的导数恰好等于该点的横坐标 ( cos x )。论是通过导数定义的严格推导，还是借助单位圆的几何直观，都能清晰得出结论： ( sin x ) 的导数等于 ( cos x ) 。这一结果不仅是三角函数求导的基础，更体现了数学中“形式推导”与“几何直观”的美统一。