一、定义转化
设函数 ( y = arcsin x )，根据反正弦函数的定义，其本质是正弦函数的反函数。因此，( y = arcsin x ) 等价于 ( x = sin y )，其中 ( x in [-1,1] )，( y in [-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] )。二、隐函数求导
对 ( x = sin y ) 两边同时对 ( x ) 求导。左边对 ( x ) 求导得 ( frac{dx}{dx} = 1 )；右边对 ( x ) 求导需用复合函数求导法则，即 ( frac{d}{dx}(sin y) = cos y cdot frac{dy}{dx} )。由此可得： [ 1 = cos y cdot frac{dy}{dx} ] 整理得 ( frac{dy}{dx} = frac{1}{cos y} )。三、三角函数关系替换
根据三角函数平方关系 ( sin^2 y + cos^2 y = 1 )，可得 ( cos y = sqrt{1 - sin^2 y} )。由于 ( y in [-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] )，在此区间内 ( cos y geq 0 )，故根号前取正号。又因 ( x = sin y )，代入得 ( cos y = sqrt{1 - x^2} )。因此： [ frac{dy}{dx} = frac{1}{sqrt{1 - x^2}} ]四、导数的定义域
由于分母 ( sqrt{1 - x^2} ) 需满足 ( 1 - x^2 > 0 )，即 ( x^2 < 1 )，得 ( x in )(-1,1)。因此，arcsinx的导数 ( frac{1}{sqrt{1 - x^2}} ) 的定义域为开区间 (-1,1)。arcsinx的导数为 1/√(1 - x²)，定义域为 (-1,1)。