导数公式的推导过程
设 ( y = arcsin x )，根据反函数定义，可得 ( x = sin y )，其中 ( y in [-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}] )。对等式 ( x = sin y ) 两边同时对 ( x ) 求导，左侧导数为 ( 1 )，右侧需用复合函数求导法则：( frac{d}{dx}(sin y) = cos y cdot frac{dy}{dx} )。因此有： ( 1 = cos y cdot frac{dy}{dx} )，整理得 ( frac{dy}{dx} = frac{1}{cos y} )。由于 ( y = arcsin x )，且 ( y in [-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}] )，此时 ( cos y geq 0 )。根据三角函数平方关系 ( sin^2 y + cos^2 y = 1 )，可得 ( cos y = sqrt{1 - sin^2 y} = sqrt{1 - x^2} )。代入上式，即得arcsinx的导数公式：( (arcsin x)' = frac{1}{sqrt{1 - x^2}} )定义域 ( x in (-1,1) )。
公式的核心特征与应用
该公式的核心特征在于分母为 ( sqrt{1 - x^2} )，反映了反正弦函数导数与自变量的非线性关系。在实际应用中，此公式常用于复合函数求导。例如，对于函数 ( y = arcsin(3x) )，设 ( u = 3x )，则 ( y = arcsin u )，根据复合函数求导法则： ( y' = frac{1}{sqrt{1 - u^2}} cdot u' = frac{1}{sqrt{1 - (3x)^2}} cdot 3 = frac{3}{sqrt{1 - 9x^2}} )，其中关键步骤是外层函数导数与内层函数导数的乘积。此外，在积分运算中，该公式的逆用即 ( int frac{1}{sqrt{1 - x^2}} dx = arcsin x + C )也是求理函数积分的重要工具，体现了导数与积分的互逆关系。
arcsinx的导数公式不仅是反三角函数求导的基础，也为决几何、物理中的变化率问题提供了数学工具。其推导过程严格依赖反函数性质与三角函数关系，结果简洁且具有明确的定义域限制，是微积分体系中不可或缺的组成部分。