- 分子( f(x) = x^2 + 1 )，导数( f'(x) = 2x )；
- 分母( g(x) = x - 2 )，导数( g'(x) = 1 )；
- 代入公式：[ y' = frac{(2x)(x - 2) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 2)^2} ]
- 化简分子：( 2x(x - 2) - (x^2 + 1) = 2x^2 - 4x - x^2 - 1 = x^2 - 4x - 1 )；
- 最终结果：[ y' = frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2} ]
意事项
分母不能为零：原函数( frac{f(x)}{g(x)} )的定义域( g(x) neq 0 )，求导后的函数同样需满足此条件。
符号问题：公式中分子部分是“分子导数乘分母”减去“分子乘分母导数”，需意的减号，避免符号错误。
与积的导数法则区分：商的导数公式分子是减法，分母有平方；而积的导数公式为( [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) )，两者不可混淆。
通过掌握上述法则和步骤，可系统决两个函数商的求导问题，为复杂函数的求导奠定基础。
两个函数的商如何求导？
两个函数的商如何求导？
在微积分的运算体系中，两个函数商的求导是基本且重要的运算规则。设函数( f(x) )和( g(x) )均可导，且( g(x) neq 0 )，则它们的商( frac{f(x)}{g(x)} )的导数可通过商的导数法则求。
商的导数法则公式
两个函数商的导数公式为：[ left( frac{f(x)}{g(x)} right)' = frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} ]
该公式的核心是：分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
公式的应用步骤
1. 确定分子与分母：明确被求导函数中哪个是分子( f(x) )，哪个是分母( g(x) )。
2. 分别求导：计算分子( f(x) )的导数( f'(x) )和分母( g(x) )的导数( g'(x) )。
3. 代入公式计算：将( f(x) )、( f'(x) )、( g(x) )、( g'(x) )代入商的导数公式，分子部分为( f'(x)g(x) - f(x)g'(x) )，分母部分为( [g(x)]^2 )。
4. 化简结果：对计算得到的表达式进行化简，得到最终的导函数。
实例析
设函数( y = frac{x^2 + 1}{x - 2} )，求其导数( y' )。