为简化积分，采用换元法：令u = cosx，则对u求导得du/dx = -sinx，即-sinx dx = du，也即sinx dx = -du。将其代入积分式，可得： ∫(sinx/cosx)dx = ∫(-1/u)du
根据基本积分公式∫(1/u)du = ln|u| + C，可进一步计算： ∫(-1/u)du = -ln|u| + C
将u = cosx代回，最终得到∫tanx dx = -ln|cosx| + C。
公式的意事项 1. 积分常数C不可省略：不定积分的结果是一族原函数，不同常数C对应不同的原函数，缺失常数会导致结果不整。 2. 适用范围有限制：公式仅在cosx ≠ 0时成立，即x ≠ π/2 + kπk∈Z。在此区间外，tanx定义，原函数不存在。 3. 绝对值符号不可省略：因cosx在不同区间可能取正值或负值，而对数函数的真数需为正数，|cosx|可保证表达式有意义。 验证：导数与原函数的关系 为确认结果正确性，对积分结果求导，验证其是否等于tanx。设F(x) = -ln|cosx| + C，则： F'(x) = - (1/|cosx|) · d/dx(|cosx|)- 当cosx > 0时，|cosx| = cosx，F'(x) = - (1/cosx) · (-sinx) = sinx/cosx = tanx；
- 当cosx F'(x) = tanx，验证公式准确。