一、代数条件的配方转化
首先对等式进行移项处理，将所有项集中于左侧： a² - 10a + b² - 24b + c² - 26c + 338 = 0通过配方将多项式转化为全平方形式。对每一个变量分别配方：
- 对于a：(a² - 10a = (a - 5)² - 25)
- 对于b：(b² - 24b = (b - 12)² - 144)
- 对于c：(c² - 26c = (c - 13)² - 169)
将上述结果代入原等式，整理得：
(a - 5)² + (b - 12)² + (c - 13)² - 25 - 144 - 169 + 338 = 0
计算常数项：(-25 - 144 - 169 + 338 = 0)，因此等式简化为： (a - 5)² + (b - 12)² + (c - 13)² = 0
二、非负数性质与三边长度
由于平方数具有非负性，即((a - 5)² ≥ 0)、((b - 12)² ≥ 0)、((c - 13)² ≥ 0)，要使三个非负数之和为0，只能每个平方项均为0。由此可得： a = 5，b = 12，c = 13三、几何属性的判定
根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足(a² + b² = c²)，则该三角形为直角三角形。将a=5、b=12、c=13代入验证： 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²因此，三角形ABC是以c为斜边的直角三角形，其中直角顶点位于a、b两边的交点。
四、结论与几何意义
通过代数配方，将抽象的等式转化为具体的边长关系，最终揭示了三角形的直角属性。这一过程体现了代数方法在几何问题中的应用：代数变形是工具，几何属性是本质，二者的结合为决复杂问题提供了清晰路径。三角形ABC的三边5、12、13是一组经典的勾股数，其几何意义不仅限于直角三角形，更反映了代数条件与几何图形之间的内在逻辑——每一个代数等式背后，都可能对应着特定的几何结构。