数学概率学Q12卡壳求助：5红3白不放回摸3次，至少2红的概率到底怎么算？

针对Q12提出的“袋中5个红球、3个白球共8个球，每次不放回摸1个，连续摸3次，求至少摸到2个红球的概率”这一问题，不少人在计算时容易混淆组合与排列，或漏算其中一种情况，下面给出清晰法：

首先明确“至少摸到2个红球”包含两种互斥情况：摸到2个红球1个白球，或摸到3个红球。

1. 计算总样本数：从8个球中不放回摸3个，总组合数为 \\(C(8,3)=\\frac{8×7×6}{3×2×1}=56\\)

2. 计算“2红1白”的组合数：从5个红球选2个，3个白球选1个 \\(C(5,2)×C(3,1)=\\left(\\frac{5×4}{2}\\right)×3=10×3=30\\)

3. 计算“3红”的组合数：从5个红球选3个 \\(C(5,3)=\\frac{5×4×3}{3×2×1}=10\\)

4. 条件的总组合数：\\(30+10=40\\)

5. 所求概率：\\(\\frac{40}{56}=\\frac{5}{7}≈0.714\\)

若用排列验证考虑摸球顺序：

• 总排列数：\\(A(8,3)=8×7×6=336\\)
• “2红1白”排列数：选1个位置放白球\\(C(3,1)\\)，排2个红球\\(A(5,2)\\)，排1个白球\\(A(3,1)\\)，即\\(3×(5×4)×3=180\\)
• “3红”排列数：\\(A(5,3)=5×4×3=60\\)
• 总排列数：\\(180+60=240\\)
• 概率：\\(\\frac{240}{336}=\\frac{5}{7}\\)，结果一致 以上两种方法均能得到正确结果，核心是准确拆分“至少2红”的互斥情况，避免遗漏或重复计算，同时区分放回与不放回的样本数计算逻辑即可决Q12的困惑。