圆的所有性质究竟有哪些？
圆的核心定义决定了其基础性质：平面内到定点圆心距离等于定长半径的点的集合。由此衍生出半径的本质特征——同圆或等圆中，所有半径长度相等，直径作为半径的2倍，不仅是最长的弦，还能平分圆为两个全等半圆。
从对称性看，圆是美的对称图形。它既是轴对称图形，任意一条过圆心的直线都是对称轴，沿对称轴折叠后两部分全重合；又是中心对称图形，圆心为对称中心，绕圆心旋转任意角度都与自身重合，这种旋转不变性使其在几何变换中保持稳定。
弦与直径的关系中，垂径定理是关键纽带：垂直于弦的直径平分弦，同时平分弦所对的优弧与劣弧；反过来，平分非直径弦的直径必垂直于该弦。同圆或等圆中，弦长与弦心距圆心到弦的距离成反比——弦心距越小，弦越长；等弦对应的圆心角相等，所对的优弧、劣弧也分别相等。
角的性质进一步揭示圆的内在规律。同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，等圆心角则对应等圆周角。特殊地，直径所对的圆周角必为直角，而90°的圆周角所对的弦一定是直径。圆内接四边形的对角互补，任一外角等于它的内对角，这一性质将四边形与圆的弧度关联起来。
切线的性质与判定凸显圆的边界特性：圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径外端且垂直于半径的直线必为切线。从圆外一点引两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，形成对称的切线结构。
此外，点、直线与圆的位置关系也由距离决定：点在圆内、圆上或圆外，取决于点到圆心的距离小于、等于或大于半径；直线与圆相离、相切、相交，则由圆心到直线的距离大于、等于或小于半径判定。这些性质共同构成圆的几何体系，从定义到对称、从弦角关系到边界特性，展现出简洁而严谨的数学逻辑。