如何用定积分求星形线的面积与周长？
星形线是一种具有对称性的几何曲线，其标准方程为 \\(x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}\\)，其中 \\(a > 0\\)。为简化计算，通常采用参数方程形式：\\(x = a\\cos^3 t\\)，\\(y = a\\sin^3 t\\)，参数 \\(t \\in [0, 2\\pi]\\)。利用定积分可求其围成的面积与自身的弧长，关键在于参数方程下的积分变换。
计算面积时，利用对称性，先考虑第一象限部分\\(t \\in [0, \\pi/2]\\)，再乘以4。参数方程下面积元素为 \\(dA = y \\, dx\\)，其中 \\(dx = -3a\\cos^2 t \\sin t \\, dt\\)。代入得第一象限面积 \\(A_1 = \\int_0^{\\pi/2} a\\sin^3 t \\cdot 3a\\cos^2 t \\sin t \\, dt = 3a^2 \\int_0^{\\pi/2} \\sin^4 t \\cos^2 t \\, dt\\)。通过三角函数积分公式化简，得 \\(A_1 = \\frac{3\\pi a^2}{32}\\)，总面积 \\(A = 4A_1 = \\frac{3\\pi a^2}{8}\\)。
计算周长时，参数方程下弧长公式为 \\(L = \\int_{\\alpha}^{\\beta} \\sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt\\)。求导得 \\(dx/dt = -3a\\cos^2 t \\sin t\\)，\\(dy/dt = 3a\\sin^2 t \\cos t\\)，平方和为 \\(9a^2 \\sin^2 t \\cos^2 t\\)，开方后得 \\(3a|\\sin t \\cos t|\\)。利用对称性取第一象限积分再乘4，得 \\(L = 4 \\int_0^{\\pi/2} 3a \\sin t \\cos t \\, dt = 12a \\int_0^{\\pi/2} \\sin t \\cos t \\, dt\\)。换元积分后结果为 \\(L = 6a\\)。
通过定积分工具，星形线的几何度量可被精确求。面积计算依赖参数方程下的积分变换与对称性简化，周长求则借助弧长公式与三角函数积分。整个过程体现了参数方程在曲线积分中的便利性，以及定积分处理几何问题的普适性。