高斯函数积分特指计算 ∫_{-∞}^{∞} e^{-x²} dx 的值。该积分无法直接通过求原函数得出,需借助极坐标变换的巧妙方法:先设积分值为 I,对其平方转化为二重积分 I² = ∫∫ e^{-(x²+y²)} dxdy,进而引入极坐标代换 x=rcosθ, y=rsinθ。积分区域变为 r∈[0,∞)、θ∈[0,2π],被积函数简化为 e^{-r²}·r。分别积分得 ∫₀^{2π} dθ=2π 与 ∫₀^{∞} r e^{-r²} dr=1/2,相乘得 I²=π,故 I=√π。这一结果在概率论与统计...