arctanx的求导公式是什么

arctanx的求导公式及推导 在微积分中，反正切函数 ( arctan x ) 是一类重要的反三角函数，其定义域为 ( (-infty, +infty) )，值域为 ( (-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}) )。求 ( arctan x ) 的导函数是导数计算中的基础问题，其结果在函数单调性分析、积分运算等领域有广泛应用。

一、推导过程

推导 ( arctan x ) 的导函数，需借助隐函数求导法。设 ( y = arctan x )，根据反正切函数的定义，可得 ( x = tan y )，其中 ( y in (-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}) )。

对等式 ( x = tan y ) 两边同时对 ( x ) 求导： 左边对 ( x ) 求导的结果为 1； 右边根据复合函数求导法则，( tan y ) 对 ( x ) 求导得 ( sec^2 y cdot y' )其中 ( y' = frac{dy}{dx} ) 为待求导函数。

因此有： [ 1 = sec^2 y cdot y' ]

根据三角函数平方关系 ( sec^2 y = 1 + tan^2 y )，且 ( tan y = x )，可得 ( sec^2 y = 1 + x^2 )。代入上式： [ 1 = (1 + x^2) cdot y' ]

整理可得： [ y' = frac{1}{1 + x^2} ]

二、求导公式

综上推导，( arctan x ) 的导函数为： ( (arctan x)' = frac{1}{1 + x^2} )

该公式表明，反正切函数的导数是一个分式函数，分母为 ( 1 + x^2 )，分子为 1。其导函数在定义域内恒正，说明 ( arctan x ) 在 ( (-infty, +infty) ) 上单调递增，这与反正切函数的图像特征一致。