其中，(a) 表示椭圆的长半轴椭圆上距离中心最远的点到中心的距离，(b) 表示椭圆的短半轴椭圆上距离中心最近的点到中心的距离，(π) 为圆周率约等于3.1416。
例如，若椭圆的长半轴 (a=5)、短半轴 (b=3)，则其面积 (S=π×5×3=15π≈47.12)。该公式表明，椭圆面积仅由长半轴和短半轴决定，且当 (a=b) 时即椭圆退化为圆，公式简化为圆的面积公式 (S=πa²)，几何直观。
椭圆的周长公式 与面积不同，椭圆的周长没有通过初等函数表达的精确“闭合公式”，需通过近似计算或椭圆积分表示。其核心原因是椭圆周长的精确值依赖于“椭圆积分”，而椭圆积分法用基本初等函数如多项式、三角函数、指数函数等析表达。1. 基于离心率的椭圆积分形式
椭圆周长的精确表达式可写为： L = 4a∫₀^(π/2)√(1 - e²sin²θ)dθ其中，(e) 为椭圆的离心率(e = sqrt{1 - b²/a²})，(0 ≤ e < 1)，(θ) 为积分变量。该积分称为“第一类全椭圆积分”，通常记为 (L = 4aE(e))，其中 (E(e)) 为椭圆积分的标准形式。由于法析求，实际应用中需通过数值方法如高斯积分、泰勒展开计算。
2. 常用近似公式
工程和实际计算中，常用以下近似公式估算椭圆周长，精度随公式复杂度提升：该公式通过对长半轴和短半轴的平方平均开根号，再乘以 (2π) 得到，计算简便但精度一般。
此公式通过加权平均长、短半轴，精度优于基础近似，适用于大多数工程场景。
该公式由印度数学家拉马努金提出，对离心率较大的椭圆仍有较高精度，误差可控制在0.01%以内。
综上，椭圆的面积公式为简单的 S = πab，而周长需通过椭圆积分或近似公式计算，常用近似如 L ≈ 2π√[(a² + b²)/2] 或更精确的 Ramanujan 公式。这些公式为椭圆的几何特性分析提供了基础工具。