圆的面积推导过程与示意图
圆的面积公式S=πr²的推导，核心在于将曲线图形转化为直线图形。这一过程借助“割补法”，通过分割与拼接，把圆转化为近似的长方形，再利用长方形面积公式推导出圆的面积。一、割圆：从扇形到近似三角形
在示意图中，首先画一个半径为r的圆。将圆沿半径平均分成n等份n为偶数，每份是一个小扇形。当n不断增大，比如16份、32份、64份……小扇形的曲边会越来越接近直线，扇形的两条半径也会越来越“直立”。此时，每个小扇形可近似看作一个等腰三角形：扇形的半径r是三角形的腰，扇形的弧长则是三角形的底当n足够大时，弧长≈三角形底边长。二、拼补：从扇形到近似长方形
将分割后的n个小扇形取出，按“一正一反”的方式交错拼接。比如等分16份时，8个扇形“弧边朝上”，8个“弧边朝下”，依次排列。拼接后，原本的曲线边会形成新图形的上下两条长边，而扇形的半径则构成图形的左右两条宽边。 从示意图可直观看到：拼接后的图形，上下两条长边由所有扇形的弧边组成，总长度等于圆的周长C=2πr，因此每条长边的长度为圆周长的一半，即πr；左右两条宽边则是扇形的半径r，且图形的上下边长平行，左右边垂直，整体接近一个长方形——当n限增大时，曲线边趋近直线，图形便限接近标准长方形。三、推导：长方形面积到圆面积
已知长方形的面积=长×宽。在拼接出的近似长方形中，长=πr，宽=r，因此长方形面积=πr×r=πr²。由于拼接过程中图形面积不变仅形状改变，这个长方形的面积就是原来圆的面积。 圆的面积S=πr²。示意图全程展现了“圆→扇形→近似长方形”的转化：从整的圆，到分割后的扇形阵列，再到拼接后的长方形象限，清晰呈现了曲边与直边、曲线图形与直线图形的联系，最终让πr²的公式推导水到渠成。