为什么二项式各项系数之和是2ⁿ
在代数的世界里，二项式定理如同搭建数与形式的桥梁，而其中“各项系数之和为2ⁿ”的结论，恰似这座桥梁上一颗简洁而深刻的铆钉。要理这一结论，需从二项式定理的本源出发。
二项式定理的核心表达式为：(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿb⁰ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ + ... + C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ + ... + C(n,n)a⁰bⁿ。这里的C(n,k)即组合数“n选k”正是展开式中每一项的系数，它们共同构成了二项式的“系数家族”。所谓“各项系数之和”，便是将这个家族的所有成员相加：C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)。
如何求得这个和？关键在于对二项式定理中的变量a和b赋予恰当的值。观察展开式，每项都含有a与b的幂次乘积：aⁿ⁻ᵏbᵏ。若想让这些幂次不干扰系数的求和，需让它们都等于1——因为1的任何次幂都是1，不会改变系数的大小。于是，令a=1，b=1，代入二项式定理左边，得到(1+1)ⁿ=2ⁿ；代入右边，则变成C(n,0)·1ⁿ·1⁰ + C(n,1)·1ⁿ⁻¹·1¹ + ... + C(n,n)·1⁰·1ⁿ，即C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)。
左右两边相等，便直接得出：各项系数之和=C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2ⁿ。
这个结论并非凭空得来，简单的例子便能印证其普适性。当n=1时，(a+b)¹=a+b，系数和为1+1=2=2¹；n=2时，(a+b)²=a²+2ab+b²，系数和1+2+1=4=2²；n=3时，(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，系数和1+3+3+1=8=2³。论n取何正整数，只要将a与b都设为1，展开式便蜕变为系数的直接相加，其结果始终是2ⁿ。
这种通过赋予变量特殊值来简化问题的思路，是代数中化繁为简的典型方法。二项式各项系数之和的秘密，就藏在“1”这个特殊数里——它像一把钥匙，消除了变量的干扰，让系数得以纯粹地相加，最终呈现出2ⁿ的简洁结果。这既是数学逻辑的必然，也是代数结构之美的体现。