根与系数的关系是什么？在代数领域，这一关系被称为韦达定理，其核心是揭示一元多项式方程的根与系数之间的内在联系，其中最基础也最常用的，是一元二次方程中的根与系数关系。
对于一元二次方程 \\(ax^2 + bx + c = 0\\)其中 \\(a \\neq 0\\)，若方程的两个根为 \\(x_1\\) 和 \\(x_2\\)，则根与系数的关系可表述为：两根之和 \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\)，两根之积 \\(x_1x_2 = \\frac{c}{a}\\)。这一简洁的结论，将方程的系数 \\(a\\)、\\(b\\)、\\(c\\) 与根的基本运算结果紧密联结，需出方程的具体根，即可通过系数直接获取根的关键信息。
这一关系的推导源于方程求根公式。对于上述二次方程，由求根公式可得 \\(x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\)，即 \\(x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\)，\\(x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\)。将两根相加，根号项相互抵消，化简后得 \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\)；将两根相乘，利用平方差公式展开后，根号项同样消去，化简得 \\(x_1x_2 = \\frac{c}{a}\\)。这一推导过程直观展现了根与系数关系的必然性，是代数运算逻辑的自然结果。
根与系数的关系突破了“先求根再分析”的传统思路，为方程研究提供了全新视角。例如，若已知二次方程的一个根，可通过两根之和或之积直接求出另一根；若需构造以特定两个数为根的二次方程，只需以两数之和与积确定系数，即方程为 \\(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0\\)；在判断根的符号时，通过两根之积的正负可直接确定两根是否同号，结合两根之和的正负则能进一步判断正根或负根的绝对值大小。
这一关系并非局限于二次方程。对于更高次的一元多项式方程，根与系数的关系同样存在：若多项式 \\(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\cdots + a_1x + a_0 = 0\\) 的根为 \\(x_1, x_2, \\cdots, x_n\\)，则各根之和等于 \\(-\\frac{a_{n-1}}{a_n}\\)，各根之积等于 \\((-1)^n\\frac{a_0}{a_n}\\)，而根的其他组合乘积也与相应系数存在确定关联。这种普适性使得根与系数的关系成为连接方程结构与根的特性的桥梁，贯穿于方程理论的始终，是代数研究中不可或缺的基础工具。