在三角函数与反三角函数交织的数学图景中，反正切函数arctan始终扮演着“逆向码”的角色：当我们已知一个角的正切值，arctan便负责给出这个角的具体大小。它的定义域涵盖所有实数，值域却被严格限定在(-π/2, π/2)的开区间内——这个被称为“主值区间”的设定，是为了确保每个正切值都能对应唯一确定的角，避免多性带来的混淆。今天我们聚焦的，正是两个特殊正切值对应的arctan结果：当正切值为0时，arctan0等于多少？当正切值为1时，arctan1又等于多少？
先看arctan0。这个问题的本质，是寻找一个角θ，使其满足tanθ=0，且θ落在(-π/2, π/2)之间。根据正切函数的定义，tanθ=sinθ/cosθ，要让这个比值为0，分子sinθ必须为0此时分母cosθ不能为0，否则正切值意义。在单位圆坐标系中，正弦值为0的角对应x轴上的点，即θ=0、π、2π……等，但若将范围收缩到arctan的主值区间(-π/2, π/2)，唯一条件的角只有0——它既满足sin0=0、cos0=1分母非0，又恰好落在限定区间内。因此，arctan0=0。
再看arctan1。此时我们需要找的是θ∈(-π/2, π/2)，使得tanθ=1。由tanθ=sinθ/cosθ可知，比值为1意味着sinθ=cosθ。在单位圆中，正弦与余弦相等的点出现在第一、三象限的角平分线上，对应θ=π/4+kπk为整数。但主值区间(-π/2, π/2)将范围锁定在(-90°, 90°)之间，在此范围内，唯一满足sinθ=cosθ的角是π/4即45°——此时θ=π/4，sinθ=cosθ=√2/2，代入tanθ可得(√2/2)/(√2/2)=1，全。因此，arctan1=π/4。
这两个看似朴素的结果——arctan0=0与arctan1=π/4，实则是数学逻辑对“确定性”的坚守：通过主值区间的巧妙设定，让每个正切值都能锚定唯一的角；而0与1这两个特殊的正切值，又恰好对应着坐标系中最基础的位置——x轴正方向与直线y=x，最终在简洁的数中，藏着三角与几何的深刻呼应。