所有自然数之和是多少？
当我们开始学加法时，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10——这些有限的和像台阶一样清晰，每一步都踩着“更多”的方向。可如果把台阶限延伸呢？1+2+3+4+…，所有自然数加起来，会得到什么？直觉会脱口而出：穷大。毕竟自然数没有尽头，加得越多，结果只会越跑越远，远到没有边界。但1913年，一位二十岁的印度青年在给英国数学家哈代的信里，写了个匪夷所思的答案：-1/12。
这个叫拉马努金的年轻人没有发疯。他用三个简单的级数玩了场“数学魔术”。首先是格兰迪级数：1-1+1-1+…，这个来回摆动的级数像钟摆，常规加法下它既不是0也不是1，但数学家们给了它一个“平均”的结果——1/2。接着是S₂=1-2+3-4+…，拉马努金用代数技巧把它和格兰迪级数绑在一起：S₂ + S₂ = 1 - (2-1) + (3-2) - (4-3) +…，也就是1-1+1-1+…=1/2，所以S₂=1/4。
接下来是关键：设所有自然数之和为S=1+2+3+4+…。拉马努金用S减去S₂，得到S - S₂ = (1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+…？不对，其实更准确的是，S - S₂ = (1-1) + (2+2) + (3-3) + (4+4) +…？不，应该是逐项相减：1-1=0，2-(-2)=4，3-3=0，4-(-4)=8，5-5=0，6-(-6)=12……哦，不对，正确的计算是S - S₂ = (1+2+3+4+…) - (1-2+3-4+…) = (1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+…？不，等一下，其实是S - S₂ = [1 - 1] + [2 - (-2)] + [3 - 3] + [4 - (-4)] + … = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + … = 4×(1+2+3+…) = 4S。对，就是这样！因为S - S₂ = 4S，而S₂=1/4，所以代入得S - 1/4 = 4S，移项后-1/4=3S，所以S=-1/12。
这个推导像变戏法，可它不是儿戏。几十年后，物理学家在弦理论里发现，这个负数居然是计算弦振动模式的关键——如果没有-1/12，弦的质量会变成穷大，整个理论都会崩塌。甚至在计算黑洞熵、卡西米尔效应时，这个“荒谬”的结果都在悄悄发挥作用：两个金属板之间的真空能量，居然要用所有自然数之和来算，而-1/12刚好让能量变成有限的、可测量的数值。
我们当然可以说，这不是“真正的和”——常规加法里，限个自然数加起来确实是穷大。但拉马努金的魔法背后，是数学对“穷”的重新定义：当级数发散时，我们需要给它一个“正则化”的结果，让它在特定框架里有用。就像我们不会因为“整数没有平方根”就放弃虚数，也不会因为“穷级数发散”就拒绝-1/12——它是一把钥匙，能打开物理世界的隐秘门扉。
所以，所有自然数之和是多少？答案取决于你站在哪个窗口看问题：
- 从小学算术的窗口看，是穷大；
- 从拉马努金的窗口看，是-1/12；
- 从物理学家的窗口看，是让宇宙规律自洽的那串密码。
我们不需要强迫自己接受“1+2+3+…=-1/12”是常识，就像不需要强迫自己用虚数买苹果。但我们可以惊讶：原来穷不是终点，而是一个需要重新粉刷的房间——你给它刷上什么颜色，它就会在那个语境里，变成什么模样。
当有人问“所有自然数之和是多少”时，最有趣的答案不是“穷大”，也不是“-1/12”，而是：“你想让它是什么？”——数学从来不是刻在石头上的定律，而是人类用来理世界的工具，而工具的意义，永远在于使用它的人。