自然对数函数的导数公式：( (ln x)' = frac{1}{x} )
这一公式表明，自然对数函数 ( ln x ) 对 ( x ) 的导数等于自变量 ( x ) 的倒数。例如，当 ( x = 2 ) 时，( (ln 2)' = frac{1}{2} )；当 ( x = e ) 时，( (ln e)' = frac{1}{e} = 1 )因 ( ln e = 1 )，其导数为常数1。
二、一般对数函数的导数公式 对于以任意正数 ( a )( a > 0 ) 且 ( a neq 1 )为底数的对数函数 ( log_a x )( x > 0 )，其导数公式可通过自然对数的导数公式结合换底公式推导得出。首先，利用对数换底公式，将 ( log_a x ) 转化为自然对数形式： ( log_a x = frac{ln x}{ln a} )其中 ( ln a ) 为常数，因 ( a ) 是固定底数。
对等式两边求导，常数因子 ( frac{1}{ln a} ) 可提取到导数符号外，结合自然对数的导数公式 ( (ln x)' = frac{1}{x} )，可得：
一般对数函数的导数公式：( (log_a x)' = frac{1}{x ln a} )
例如，常用对数函数 ( lg x = log_{10} x )，其导数为 ( (lg x)' = frac{1}{x ln 10} )；以2为底数的对数函数 ( log_2 x )，其导数为 ( (log_2 x)' = frac{1}{x ln 2} )。
三、公式的核心特征与应用 从上述两个公式可见，对数函数的导数具有共同特征：导数结果均与自变量 ( x ) 成反比，且一般对数函数的导数比自然对数函数多一个与底数相关的常数因子 ( frac{1}{ln a} )。在实际应用中，若遇到复合对数函数如 ( log_a (x^2 + 1) )、( ln (3x - 2) ) 等，需结合链式法则求导。例如，对 ( ln (3x - 2) ) 求导，令 ( u = 3x - 2 )，则导数为 ( frac{1}{u} cdot u' = frac{3}{3x - 2} )；对 ( log_2 (x^3) ) 求导，先化简为 ( 3 log_2 x )，再求导得 ( 3 cdot frac{1}{x ln 2} = frac{3}{x ln 2} )。
log函数的导数公式可概括为：自然对数 ( ln x ) 的导数是 ( frac{1}{x} )，一般对数 ( log_a x ) 的导数是 ( frac{1}{x ln a} )。这两个公式是微积分中处理对数函数求导问题的核心工具，其简洁性与普适性使其成为函数微分运算的基础内容之一。