一、泰勒展开式的基本形式
泰勒展开式是将函数在某点附近表示为幂级数的形式，其一般公式为： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (frac{f''(a)}{2!})(x-a)² + (frac{f'''(a)}{3!})(x-a)³ +... + (frac{f^{(n)}(a)}{n!})(x-a)ⁿ + Rₙ(x) 其中 (Rₙ(x)) 为余项。对于 (tan x)，通常取 (a=0)即麦克劳林展开式，此时展开式仅含奇次项因 (tan x) 是奇函数，偶次导数在 (x=0) 处为0，故可设： (tan x = a₁x + a₃x³ + a₅x⁵ + a₇x⁷ +...)二、利用已知展开式间接推导
(tan x = frac{sin x}{cos x})，而 (sin x) 与 (cos x) 的麦克劳林展开式已知：- (sin x = x - frac{x³}{6} + frac{x⁵}{120} - frac{x⁷}{5040} +...)
- (cos x = 1 - frac{x²}{2} + frac{x⁴}{24} - frac{x⁶}{720} +...)
设 (tan x = frac{sin x}{cos x} = a₁x + a₃x³ + a₅x⁵ +...)，则等式两边同乘 (cos x) 得：
(sin x = (a₁x + a₃x³ + a₅x⁵ +...)(1 - frac{x²}{2} + frac{x⁴}{24} -...))
三、待定系数法求系数
通过对比等式两边同次幂的系数，可依次出 (a₁, a₃, a₅,...)：1. (x) 项系数
左边 (sin x) 的 (x) 项系数为 (1)；右边展开后 (x) 项仅来自 (a₁x cdot 1)，即 (a₁x)。故 (a₁ = 1)。2. (x³) 项系数
左边 (sin x) 的 (x³) 项系数为 (-frac{1}{6})；右边展开后 (x³) 项为 (a₁x cdot (-frac{x²}{2}) + a₃x³ cdot 1 = (-frac{a₁}{2} + a₃)x³)。代入 (a₁=1)，得： (-frac{1}{2} + a₃ = -frac{1}{6}) → (a₃ = frac{1}{3})。3. (x⁵) 项系数
左边 (sin x) 的 (x⁵) 项系数为 (frac{1}{120})；右边 (x⁵) 项来自 (a₁x cdot frac{x⁴}{24} + a₃x³ cdot (-frac{x²}{2}) + a₅x⁵ cdot 1 = (frac{a₁}{24} - frac{a₃}{2} + a₅)x⁵)。代入 (a₁=1, a₃=frac{1}{3})，得： (frac{1}{24} - frac{1}{6} + a₅ = frac{1}{120}) → (a₅ = frac{2}{15})。4. 高阶项系数
同理可推得 (x⁷) 项系数 (a₇ = frac{17}{315})，(x⁹) 项系数 (a₉ = frac{62}{2835}) 等。四、最终展开式
综合上述结果，(tan x) 的麦克劳林展开式泰勒展开式 (a=0)为： (tan x = x + frac{1}{3}x³ + frac{2}{15}x⁵ + frac{17}{315}x⁷ + frac{62}{2835}x⁹ +...)该展开式在 (|x| < frac{pi}{2}) 时收敛，适用于数值计算、极限求等场景。