从面面垂直到线面垂直：几何语言的逻辑链

当我们讨论“面面垂直如何得出线面垂直”时，本质是在调用面面垂直的性质定理——这是连接两个平面垂直与直线和平面垂直的关键桥梁。这个过程的每一步都需要用严谨的几何语言符号与命题串联，确保条件备、结论必然。

一、前提：明确面面垂直的定义

面面垂直的定义是推导的起点：若两个平面所成的二面角为直二面角即90°，则称这两个平面互相垂直。用几何语言表示为： 若平面α与平面β的二面角大小为90°，则α⊥β。

二、核心：面面垂直的性质定理

要从“α⊥β”推出“某直线⊥某平面”，必须满足三个关键条件，缺一不可： 1. 两个平面已垂直α⊥β； 2. 存在两平面的交线α∩β = l，l是唯一的公共直线； 3. 某条直线在其中一个平面内，且垂直于交线直线a⊂α，且a⊥l。

当这三个条件同时满足时，结论必然成立：这条直线垂直于另一个平面a⊥β。

将上述逻辑转化为标准几何语言，就是性质定理的整表述： 若α⊥β，α∩β = l，a⊂α，且a⊥l，则a⊥β。

三、实例：用几何语言还原推导过程

以正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁为例，我们可以直观验证这个逻辑链：

• 已知：平面ABCD⊥平面ADD₁A₁正方体中相邻面垂直；
• 交线：α∩β = AD两个平面的公共边；
• 直线AB⊂平面ABCDAB在底面内；
• 且AB⊥AD正方体的棱与棱垂直。 代入性质定理的几何语言： ∵ 平面ABCD⊥平面ADD₁A₁，平面ABCD∩平面ADD₁A₁ = AD，AB⊂平面ABCD，AB⊥AD， ∴ AB⊥平面ADD₁A₁。

  四、关键：条件的不可缺失性

  需要特别意，“直线在平面内”与“垂直于交线”是两个易被忽略的前提：
  • 若直线不在任一平面内，即使垂直于交线，也法推出线面垂直比如正方体中A₁B₁⊥AD，但A₁B₁⊄平面ABCD，故A₁B₁不垂直于平面ADD₁A₁；
  • 若直线在平面内但不垂直于交线，同样法得到结论比如正方体中AD⊂平面ABCD，AD与交线AD重合，不满足“垂直”，故AD不垂直于平面ADD₁A₁。 从面面垂直到线面垂直的过程，本质是将“平面与平面的垂直”转化为“直线与平面内两条相交直线的垂直”线面垂直的判定定理——因为交线l在平面β内，而平面β内所有与l垂直的直线都与a平行或重合，最终通过“线面垂直的定义”得出a⊥β。但这一转化的核心，始终是面面垂直性质定理的几何语言：用精确的符号固定条件，用逻辑的链条连接结论。

    简言之，从α⊥β到a⊥β，几何语言的任务就是把“在一个平面内垂直于交线”这一“钥匙”，插入“面面垂直”的“锁孔”，最终打开“线面垂直”的结果。