两个向量垂直的公式

在向量代数中，判断两个向量是否垂直的核心依据是向量的数量积也称内积。当两个向量垂直时，它们的数量积为零，这是向量垂直的基本公式。

一、向量数量积与垂直的关系

向量的数量积定义为：对于向量$\\boldsymbol{a}$和$\\boldsymbol{b}$，它们的数量积$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = |\\boldsymbol{a}||\\boldsymbol{b}|\\cos\\theta$，其中$|\\boldsymbol{a}|$、$|\\boldsymbol{b}|$分别是向量$\\boldsymbol{a}$、$\\boldsymbol{b}$的模，$\\theta$是两向量的夹角取值范围$[0^\\circ, 180^\\circ]$。 当两向量垂直时，夹角$\\theta = 90^\\circ$，此时$\\cos\\theta = 0$，因此$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = 0$。 反之，若$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = 0$且$\\boldsymbol{a}$、$\\boldsymbol{b}$均为非零向量，则$\\cos\\theta = 0$，即$\\theta = 90^\\circ$，两向量垂直。 两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零，公式可写作： $$\\boldsymbol{a} \\perp \\boldsymbol{b} \\iff \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = 0$$

二、坐标形式的垂直公式

在具体计算中，常通过向量的坐标表示应用上述公式。

1. 平面向量二维向量

设平面向量$\\boldsymbol{a} = (x_1, y_1)$，$\\boldsymbol{b} = (x_2, y_2)$，根据数量积的坐标运算规则，$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。结合垂直条件，可得： $$\\boldsymbol{a} \\perp \\boldsymbol{b} \\iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$

例如，向量$\\boldsymbol{a} = (2, 3)$与$\\boldsymbol{b} = (-3, 2)$，计算数量积：$2 \\times (-3) + 3 \\times 2 = -6 + 6 = 0$，故$\\boldsymbol{a} \\perp \\boldsymbol{b}$。

2. 空间向量三维向量

对于空间向量$\\boldsymbol{a} = (x_1, y_1, z_1)$，$\\boldsymbol{b} = (x_2, y_2, z_2)$，数量积的坐标表达式为$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$。因此垂直公式扩展为： $$\\boldsymbol{a} \\perp \\boldsymbol{b} \\iff x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$$

例如，向量$\\boldsymbol{a} = (1, 0, -1)$与$\\boldsymbol{b} = (0, 2, 0)$，数量积为$1 \\times 0 + 0 \\times 2 + (-1) \\times 0 = 0$，故两向量垂直。

三、特殊情况说明

需意，若两向量中至少有一个是零向量模为零的向量，数学中通常规定零向量与任意向量垂直。此时，由于零向量的坐标全为零，代入上述坐标公式仍满足数量积为零，因此公式依然成立。

向量垂直的公式是向量代数的基础工具，其核心是“数量积为零”，通过坐标形式可直接量化计算，广泛应用于几何判定如直线垂直、平面垂直、物理分析如力与位移垂直时功为零等领域。