奔驰定理是三角形中描述内部点与顶点向量关系的核心定理，因形式贴合奔驰车标而得名。
对于任意△ABC及其内部一点P，以P为顶点可将原三角形分割为三个小三角形——△PBC、△PCA、△PAB。奔驰定理的内容是：这三个小三角形的面积，分别乘以对应对顶点的向量S△PBC乘向量PA，S△PCA乘向量PB，S△PAB乘向量PC，它们的和等于零向量。换句话说，S△PBC·$\\overrightarrow{PA}$ + S△PCA·$\\overrightarrow{PB}$ + S△PAB·$\\overrightarrow{PC}$ = $\\overrightarrow{0}$。
这个定理的命名源于其结构的直观性：三个面积项与向量的组合，恰似奔驰三叉星徽的三个分支——每个“分支”对应一个小三角形的面积权重与一个顶点向量，三者围绕原点零向量形成平衡关系。这种形象化的命名让抽象的向量定理变得容易记忆。
从几何意义看，奔驰定理是连接“点的位置”与“面积分配”的桥梁。当P是三角形的特殊点时，定理会简化为更熟悉的结论：若P是重心三角形三条中线的交点，三个小三角形面积相等均为原三角形面积的1/3，此时定理退化为$\\overrightarrow{PA}$ + $\\overrightarrow{PB}$ + $\\overrightarrow{PC}$ = $\\overrightarrow{0}$，这正是重心的经典向量性质；若P是内心角平分线的交点，三个小三角形的面积比等于原三角形对应边长的比S△PBC:S△PCA:S△PAB = a:b:c，a、b、c为△ABC的边长，定理便转化为a·$\\overrightarrow{PA}$ + b·$\\overrightarrow{PB}$ + c·$\\overrightarrow{PC}$ = $\\overrightarrow{0}$，契合内心的向量表达式；若P是外心或垂心，也能通过面积关系推导出对应的向量等式。
简言之，奔驰定理本质是用“面积权重”将三角形内任意点的位置量化为顶点向量的线性组合。它不需要复杂的坐标计算，仅通过面积与向量的结合，就将点的位置与三角形的几何结构关联起来——这种“面积-向量”的对应，正是其在向量几何中的核心价值。
对学习者而言，奔驰定理的意义在于“统一”：它把重心、内心等特殊点的向量性质纳入同一框架，让零散的结论有了共同的源头。论是理特殊点的向量表达式，还是决与面积相关的向量问题，奔驰定理都是最直接的“翻译工具”——把面积条件转化为向量等式，或通过向量关系反推面积分配。
来说，奔驰定理是三角形向量几何中的“纽带”：一边连着点的位置用面积权重表示，一边连着顶点的向量，用最简单的形式概括了三角形内部的平衡关系。它没有复杂的推导，却用形象的结构和明确的结论，成为向量与几何结合的经典范例。