高斯函数的积分怎么积？
高斯函数的积分，通常指的是形如 \\( \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^2} dx \\) 的反常积分。这个积分法通过初等函数直接求出原函数，需要使用一种巧妙的数学技巧——极坐标变换来计算。
首先，设该积分的值为 \\( I \\)，即 \\( I = \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^2} dx \\)。为了求 \\( I \\)，考虑对 \\( I \\) 进行平方运算，得到 \\( I^2 = \\left( \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^2} dx \\right) \\left( \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-y^2} dy \\right) \\)。这里将积分变量从 \\( x \\) 换为 \\( y \\)，并不影响积分结果。
接下来，将两个独立的积分合并为一个二重积分，即 \\( I^2 = \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^2 - y^2} dx dy \\)。这个二重积分的积分区域是整个平面。为了简化计算，引入极坐标变换：\\( x = r \\cos\\theta \\)，\\( y = r \\sin\\theta \\)。此时，面积元素 \\( dx dy \\) 变为 \\( r dr d\\theta \\)，而 \\( x^2 + y^2 = r^2 \\)，因此被积函数 \\( e^{-x^2 - y^2} \\) 化为 \\( e^{-r^2} \\)。
积分区域在极坐标下变为 \\( r \\) 从 0 到 \\( \\infty \\)，\\( \\theta \\) 从 0 到 \\( 2\\pi \\)。于是，二重积分转换为极坐标下的累次积分：\\( I^2 = \\int_{0}^{2\\pi} \\int_{0}^{\\infty} e^{-r^2} r dr d\\theta \\)。这个积分可以分离为两个独立的积分乘积：\\( \\left( \\int_{0}^{2\\pi} d\\theta \\right) \\left( \\int_{0}^{\\infty} r e^{-r^2} dr \\right) \\)。
先计算对 \\( \\theta \\) 的积分：\\( \\int_{0}^{2\\pi} d\\theta = 2\\pi \\)。再计算对 \\( r \\) 的积分：令 \\( u = r^2 \\)，则 \\( du = 2r dr \\)，即 \\( r dr = \\frac{1}{2} du \\)。当 \\( r = 0 \\) 时 \\( u = 0 \\)，当 \\( r \\to \\infty \\) 时 \\( u \\to \\infty \\)。因此，\\( \\int_{0}^{\\infty} r e^{-r^2} dr = \\frac{1}{2} \\int_{0}^{\\infty} e^{-u} du = \\frac{1}{2} \\left[ -e^{-u} \\right]_0^{\\infty} = \\frac{1}{2} \\)。
将两个积分结果相乘，得到 \\( I^2 = 2\\pi \\times \\frac{1}{2} = \\pi \\)。因此，\\( I = \\sqrt{\\pi} \\)，即 \\( \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^2} dx = \\sqrt{\\pi} \\)。
这种通过构造二重积分并结合极坐标变换的方法，成功决了高斯函数的积分问题。这一结果在概率论、统计学等领域有广泛应用，例如正态分布的概率密度函数归一化就依赖于此积分值。对于有限区间的高斯函数积分，或带有参数的形式，可通过变量替换转化为标准形式后，结合误差函数Error function进行表示，但法用初等函数精确表达。