圆柱与圆锥的公式

圆柱和圆锥是几何中常见的旋转体，其相关公式在数学计算与实际应用中具有重要意义。以下从侧面积、表面积及体积三方面梳理圆柱与圆锥的全部公式。

圆柱的侧面积公式为 \\( S_{\\text{侧}} = 2\\pi rh \\)，其中 \\( r \\) 为底面半径，\\( h \\) 为圆柱的高。圆柱的表面积是侧面积与两个底面面积之和，底面为圆形，面积公式为 \\( \\pi r^2 \\)，故圆柱表面积公式为 \\( S_{\\text{表}} = 2\\pi r^2 + 2\\pi rh = 2\\pi r(r + h) \\)。圆柱的体积公式为 \\( V = \\pi r^2 h \\)，即底面积与高的乘积。

圆锥由一个底面和一个侧面组成，其体积公式与圆柱相关，为 \\( V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h \\)，其中 \\( r \\) 是底面半径，\\( h \\) 是圆锥的高。圆锥的侧面积计算需引入母线长 \\( l \\)圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离，侧面积公式为 \\( S_{\\text{侧}} = \\pi rl \\)。圆锥的表面积是底面积与侧面积的和，公式为 \\( S_{\\text{表}} = \\pi r^2 + \\pi rl = \\pi r(r + l) \\)。母线长 \\( l \\) 可通过底面半径 \\( r \\) 和高 \\( h \\) 由勾股定理求得，即 \\( l = \\sqrt{r^2 + h^2} \\)。

圆柱的侧面积、表面积、体积与圆锥的体积、侧面积、表面积及母线长的计算公式，共同构成了这两种几何体的核心量化关系，是决相关几何问题的基础工具。